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(第6题)
7.函数f(x)=lg(2x-3x)的定义域为________.
8.若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为________.
9.在△ABC中,已知AB=3,A=120°
,且△ABC的面积为,则BC边的长为________.
10.已知函数f(x)=x|x-2|,则不等式f(-x)≤f
(1)的解集为________.
11.已知函数f(x)=2sin(ω>
0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调增区间为________.
12.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4、a3、a5成等差数列,且Sk=33,Sk+1=-63,其中k∈N*,则Sk+2的值为________.
13.在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E、F分别在边AD、BC上,且=3,=3.若向量与的夹角为60°
,则·
的值为________.
14.在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:
y=x和l2:
y=-x+2的距离之和为2,则a2+b2的最大值为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(2,-1).
(1)若a⊥b,求的值;
(2)若|a-b|=2,θ∈,求sin的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥PABC中,点E、F分别是棱PC、AC的中点.
(1)求证:
PA∥平面BEF;
(2)若平面PAB⊥平面ABC,PB⊥BC,求证:
BC⊥PA.
17.(本小题满分14分)
某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30m,其中大圆弧所在圆的半径为10m.设小圆弧所在圆的半径为xm,圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值?
18.(本小题满分16分)
已知△ABC的三个顶点A(-1,0)、B(1,0)、C(3,2),其外接圆为圆H.
(1)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N,使得点M是线段PN的中点,求圆C的半径r的取值范围.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=x3+x2+ax+b(a、b为常数),其图象是曲线C.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调减区间;
(2)设函数f(x)的导函数为f′(x),若存在唯一的实数x0,使得f(x0)=x0与f′(x0)=0同时成立,求实数b的取值范围;
(3)已知点A为曲线C上的动点,曲线C与其在点A处的切线l1交于另一点B,在点B处的切线为l2,设切线l1、l2的斜率分别为k1、k2.问:
是否存在常数λ,使得k2=λk1?
若存在,求出λ的值;
若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
已知数列{an}满足a1=x,a2=3x,Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}为等差数列.
(ⅰ)求数列的通项an;
(ⅱ)若数列{bn}满足bn=2an,数列{cn}满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn,试比较数列{bn}前n项和Bn与{cn}前n项和Cn的大小;
(2)若对任意n∈N*,an<
an+1恒成立,求实数x的取值范围.
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修4-1:
几何证明选讲)
如图,锐角△ABC的内心为D,过点A作直线BD的垂线,垂足为F,点E为内切圆D与边AC的切点.若∠C=50°
,求∠DEF的度数.
B.(选修4-2:
矩阵与变换)
设矩阵M=(其中a>0,b>0),若曲线C:
x2+y2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′:
+y2=1,求a+b的值.
C.(选修4-4:
坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程是(t为参数),以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=2cos.由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.
D.(选修4-5:
不等式选讲)
已知a、b、c均为正数.求证:
a2+b2+c2+≥6.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22.某品牌汽车4S店经销A、B、C三种排量的汽车,其中A、B、C三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型.某单位计划购买3辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能.
(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率;
(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X,求X的分布列及数学期望.
23.已知点A(-1,0),F(1,0),动点P满足·
=2||.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)在直线l:
y=2x+2上取一点Q,过点Q作轨迹C的两条切线,切点分别为M、N,问:
是否存在点Q,使得直线MN∥l?
若存在,求出点Q的坐标;
2014届高三调研测试试卷
(二)(徐州)
数学参考答案及评分标准
1.2 2.1 3.20 4. 5. 6.25 7.(-∞,0) 8. 9.7 10.[-1,+∞)
11. 12.129 13.7 14.18
15.解:
(1)由a⊥b可知,a·
b=2cosθ-sinθ=0,所以sinθ=2cosθ,(2分)
所以==.(6分)
(2)由a-b=(cosθ-2,sinθ+1),可得
|a-b|===2,
即1-2cosθ+sinθ=0.①(10分)
又cos2θ+sin2θ=1,且θ∈,②由①②可解得(12分)
所以sin=(sinθ+cosθ)==.(14分)
16.证明:
(1)在△PAC中,E、F分别是PC、AC的中点,所以PA∥EF.
又PA⊄平面BEF,EF⊂平面BEF,所以PA∥平面BEF.(6分)
(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB,垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.(8分)
又BC⊂平面ABC,所以PD⊥BC.(10分)
又PB⊥BC,PD∩PB=P,PD⊂平面PAB,PB⊂平面PAB.
所以BC⊥平面PAB.(12分)
又PA⊂平面PAB,所以BC⊥PA.(14分)
17.解:
(1)设扇环的圆心角为θ,则30=θ(10+x)+2(10-x),所以θ=.(4分)
(2)花坛的面积为θ(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0<
x<
10).(7分)
装饰总费用为9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x,(9分)
所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-.(11分)
令t=17+x,则y=-≤,当且仅当t=18时取等号,此时x=1,θ=.
答:
当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.(14分)
(注:
对y也可以通过求导,研究单调性求最值,同样给分)
18.解:
(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,
所以外接圆圆心H(0,3),半径=,圆H的方程为x2+(y-3)2=10.(4分)
设圆心H到直线l的距离为d,因为直线l被圆H截得的弦长为2,
所以d==3.
当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;
(6分)
当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=.
综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.(8分)
(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),
因为点M是点P、N的中点,所以M.又M、N都在半径为r的圆C上,
所以即(10分)
因为该关于x、y的方程组有解,即以(3,2)为圆心、r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心.2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2.(12分)
又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立.
而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,故r2≤且10≤9r2.(15分)
又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>
r2对∀m∈[0,1]成立,即r2<
.故圆C的半径r的取值范围为.(16分)
本题方法较多,可参考上述评分标准给分.如果没有必要的说理过程,但答案正确的,可酌情扣3~4分)
19.解:
(1)当a=-2时,f′(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2).(2分)
令f′(x)<
0,解得-2<
,f(x)的单调减区间为.(4分)
(2)f′(x)=3x2+5x+a,
由题意知消去a,得2x+x+x0-b=0有唯一解.(6分)
令g(x)=2x3+x2+x,则g′(x)=6x2+5x+1=(2x+1)(3x+1),
所以g(x)在区间,上是增函数,在上是减函数.(8分)
又g=-,g=-,
故实数b的取值范围是∪.(10分)
(3)设A(x0,f(x0)),则点A处切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),
与曲线C:
y=f(x)联立方程组,得f(x)-f(x0)=f′(x0)(x-x0),即
(x-x0)2=0,所以B点的横坐标xB=-.(12分)
由题意知,k1=f′(x0)=3x+5x0+a,k2=f′=12x+20x0++a,
若存在常数λ,使得k2=λk1,则12x+20x0++a=λ(3x+5x0+a),
即常数λ,使得(4-λ)(3x+5x0)=(λ-1)a-,
所以常数λ,使得解得常数λ,使得λ=4,a=.(15分)
故a=时,存在常数λ=4,使k2=4k1;
a≠时,不存在常数λ,使k2=λk1.(16分)
20.解:
(1)(ⅰ)因为Sn+1+Sn+Sn-
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