第1讲热学 分子统计力学统计初步学生版文档格式.docx

第1讲热学 分子统计力学统计初步学生版文档格式.docx

《第1讲热学 分子统计力学统计初步学生版文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1讲热学 分子统计力学统计初步学生版文档格式.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

密度会正比于e-Ek/kT。

用一个系统地方式描述就是：

速度分布在（v,v

+

dv），

xxx

（vy,vy+dvy），（vz,vz+dvz）范围内的概率正比于

（想不明白为什么要这么表达的同学参考秋季班

第1讲盲人打靶），其中A是一个常数，可以证明A=（

m

2πkT

）3/2，而且可以证明，任意小

的对麦克斯韦速度分布的偏差出现的可能性都是非常小的（不是无穷小）。

dvxdvydvz相当于在vx-vy-vz做为坐标轴的空间中的一个小立方体的体积，一个粒子速度不同相当于把这个粒子处于这个空间中的不同位置。

有时候会问粒子速度大小处于v到v+dv之间的概率为多少？

这相当于问半径v与半

径v+dv的两个球之间夹的球壳内有多少粒子。

于是我们可以定义速率分布：

f（v）dv=f（v）dV=4πv2f（v）dv

只考虑不同位置的粒子势能不同的时候，就会发现粒子待在势能低的地方概率更大。

这

个被叫做波尔兹曼分布。

二、能均分定理

气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为kT/2。

这就是能量按自由度均分定理，简称能均分定理。

这样可以理解不同形态分子的比热是不一样的，理想气体

内能方程

对于原单原子分子气体i=3，对于双原子分

子气体i=5，对多原子分子i=6。

三、理想气体状态方程：

推论：

1）道尔顿分压定律：

混合理想气体的总压强，等于各种组分气体的分压强之和．即

p=p+p+p+⋅⋅⋅+p．分压强是指这部分气体在与混合气体体积相同的条件下单独存在

123n

时所产生的压强．这是因为，压强的本质是器壁对气体分子的作用。

因此，混入其他气体是不影响原有气体对器壁造成的压强的。

2）混合气体的状态方程：

设有n种温度均为T的理想气体，它们的摩尔数分别为n1

=m1，

μ1

n=m2，„，n

=mn．每种组分的状态方程为pV=nRT

（i=1，2，⋅⋅⋅，n）。

若n种理想

2nii

2n

气体温度不同，分开时状态分别为（p，V，T），（p，V，T），„，（P，V，T），将它们

111

222

nnn

混合后的状态为（p，V，T），则有p1V1+p2V2+⋅⋅⋅+pnVn=（∑

n）R=pV．若将两部分

T1T2TnT

气体混合后再分成两部分，根据气体状态变化前后摩尔数不变，即∑n=∑n'

，应有

p1V1+p2V2=p1'

V1'

+p2'

V2'

．

T1T2

T1'

T2'

运用理想气体状态方程解题时，通常会通过力学平衡来获得一个p-V关系，再联合气体状态方程就可以解出具体的压强和体积。

四、表面张力

在液面处，由于液体分子与气体分子的作用力远远小于液体内部分子之间的作用力，一次在液面附近的液体分子会受到指向液体内部的合力，致使液体表面有缩小的趋势。

对比重力势能，我们可以看出，液体的表面具有表面能，以表面积为0作为其零点，则表面能的大小与表面积成正比，其对应的力即表面张力。

表面张力总是垂直于液面分界线，且大小与分界线成正比。

五、蒸汽

在气液共存的环境中，气体分子撞击到液面时有一定的概率被液体吸收而变成液体，同

时液体内部的分子也有一定的几率从液面跑出液体，变为气体。

因此，在液面附近存在着动态平衡。

也就是说，在一定的温度下，蒸汽的压强不能无限提高，其上限称为这个温度下的饱和气压。

对于水蒸汽来讲，某温度下水蒸气的压强与该温度水蒸气的饱和气压之比成为湿度。

【例1】分别利用受力平衡和珀尔兹曼分布求解，等温大气模型中，气压与高度h关系。

已知地面大气温度为T，大气压为p0，大气摩尔质量μ，重力加速度g。

【例2】一个长圆柱体箱子，半径为R高h>

>

R，忽略重力。

将其绕着一端以角速度ω旋转，发现在中心处的压强为p，求解在r=R处的压强。

【例3】金属铀是制造原子弹的一种重要元素，然而自然界大多数铀都是不能进行核反应的238U，可用的235U极少。

由于二者的化学性质完全相同，利用化学方法分离是一件非常困难的事情。

目前，一种可行的方法是利用二者的分子量不同，通过物理的方法进行分离。

首先，把铀提取成六氟化铀UF6蒸汽使其通过一个小孔泄流，由于分子量的不同，235UF6泄流出来的多一些，通过多级泄流即可获得浓度较高的U235。

请问，经过多少级泄流，可以将0.5%的235UF6浓缩至97%？

【例4】我们用一个简单的模型来理解饱和蒸气压随温度的关系。

所谓饱和是指气体分子进入液体和液体进入气体的速度一样。

气体中分子撞到液面就直接被吸收了，而由于液体表面有势垒，液体中分子动能超过E的分子才能飞入气体（这也就解释了为什么蒸发会吸热），而动能超过E的分子概率近似正比于e-E/kT。

由此估算饱和蒸气压与温度关系。

已知在100︒C时，饱和蒸气压为P0。

【例5】由固态导热材料做成的长方体容器，被一隔板等分为两个互不连通的部分，其中分别贮有相等质量的干燥空气和潮湿空气，在潮湿空气中水汽质量占2%。

（1）若隔板可自由无摩擦地沿器壁滑动，试求达到平衡后干、湿空气所占体积的比值；

（2）若一开始采用能确保不漏气的方式将隔板抽出，试求达到平衡后容器内气体的压强与未抽出隔板时干、湿空气各自的压强这三者的比值（设干、湿空气均可视为理想气体）。

【例6】如图所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A、B、C，用带有阀门K1、K2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差h=1.00m．初始时，阀门是关闭的，A中装有1mol的氦（He）,B中装有1mol的氪（Kr）,C中装有lmol的氙（Xe），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K1、K2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为:

He

μ=4.003⨯10-3kg⋅mol-1

μ=83.8⨯10-3kg⋅mol-1

μ=131.3⨯10-3kg⋅mol-1

在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K，所吸收的热量均为3R/2，R为普适气体常量．

【例7】计算一个柱形和球形肥皂泡内外压强差。

表面张力系数σ，半径r。

肥皂泡是双面的。

【例8】假设水银和玻璃是完全不浸润的。

某人把体积为V水银放在两块玻璃板之间，用巨大的压力F把水银压成饼。

求饼的面积S。

水银表面张力为σ。

重力的效果可以忽略。

【例9】如图所示，一球形肥皂泡，其中充有空气（不计空气质量），泡外为真空，平衡时其半径为r0，由于受到扰动，肥皂泡作微小的径向膨胀、收缩振动，求其振动周期.（设振动过程中泡内空气温度保持不变，已知肥皂泡的质量为m，肥皂膜的表面张力系数为σ）

【例10】直立的长U型管一端封闭，另一端开口，封闭端（如图所示）水银柱上方空气柱长h=24cm，左端盛满水银，温度T0=273k。

现加热空气柱，然后冷却，使之恢复到原来的温度T0，这时左边水银面在管口以下H=6cm处，试求加热过程中气柱达到的最高温度。

（p0=76cmHg）

h

【例11】一根截面均匀、不变形的U型细塑料管，两臂长分别为l0=20.0厘米和h0=180.0厘米，竖直放置，如图所示．管内灌有水银，水管上端开口，短管上端封闭，管内封着长l=10.0厘米的空气柱．已知长管及横管中的水银柱长度分别为h=60.0厘米和x=10.0厘米，大气压强p0=76.0厘米高水银柱，现将此管绕通过长管拐角点A且与塑料管所在平面相垂直的轴线沿逆时针方向缓慢地转过180°

，然后将长管的开口端迅速截去50.0厘米，求与管内封闭的空气相接触的水银面的最后位置．

【例12】如图所示，粗细均匀的U形玻璃管竖直放置，当温度为为27℃时，封闭在管内的空气柱AB长为30cm，BC长为10cm,管内水银柱水平部分CD长为18cm，竖直部分DE长为15cm，外界大气压为75cmHg，当气体温度逐渐升高时，要使水银柱不在水平管内BD内，温度的最小值为多少？

（设右管足够长，且水银不从管口掉落）。

【例13】一圆柱容器倒入容积一半的水银，把口封死，然后用一根虹吸管灌满水银后插到容器中，求最终水银停止流出时，容器内水银下降了多少？

已知大气压75cmHg。

（不计温度变化）

【答案】10cm

【例14】U形管的两支管A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的

A

内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为

S=1.0⨯10-2cm2，

-2

SB=3.0⨯10

cm2，S=2.0⨯10-2

cm2，在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当

C

温度为t1=27℃时，空气柱长为l＝30cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为a＝2.0cm，b＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为h＝12cm．大气

压强保持为

p0＝76cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空

气温度缓慢升高到t＝97℃时空气的体积．

【例15】薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数

N=k∆PSt，其中t为渗透持续时间，S为薄膜的面积，d为薄膜的厚度，∆P为薄膜

d

两侧气体的压强差．k称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材料的气密性能愈好．图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图．EFGI为渗透室，U形管

左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；

U形管内横截面积A＝0.150cm2．实验中，首先测得薄膜的厚度d=0.66mm，再将薄膜固定于图中CC'

处，从而把渗透室分为上下两部分，上

3

面部分的容