数学学科知识与教学能力考点精编文档格式.docx
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=1
考点2·
极限
(1)数列极限的定义:
若数列{an}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>
m且n∈N时,恒有|an-A|<
ε成立(A为常数),
liman=A
则称A为数列an当n趋向于无穷大时的极限,记作n→∞.
liman=A,limbn=B
(2)数列极限的运算法则:
如果n→∞
lim(an±
bn)=liman±
limbn=A±
B
n→∞
,那么
①n→∞
n→∞;
lim(an⋅bn)=liman⋅limbn=A⨯B
②n→∞
liman
lima
n→∞
A(B≠0)
n→∞bn
③
limbB
n→∞;
lim(can)=climan=cA
④n→∞
(c为常数).
limC=C
(3)特殊数列的极限:
⎧0(a<
1),
(C为常数);
liman=⎪a=1),
②
lim1
⎩不存在(或a>
1
=0
a=-1)
;
③n→∞na
(a>
0的常数);
⎧0(当时k<
l),
ank+ank-1++a⎪a
lim
01
ll-1
k⎪0(当时k=l),
④
b0n+b1n
++bl
⎪b0
⎪⎩不存在(当时k>
)l
(4)函数极限定义:
①若函数f(x)满足:
对任意给定的正数ε,总存在正数m,当x>
M时,恒有|f(x)-A|<
ε成立(A为常数),则称函数f(x),当x趋
向于正无穷大时的极限为A,记作x→+∞
f(x)=A
②若函数f(x)满足:
对任意给定的正数ε,总存在正数M,当x<
-M时,恒有|f(x)-A|<
ε成立(A为常数),则称函数f(x),当x
趋向于正无穷大时的极限为A,记作x→-∞
.
③若函数f(x)满足:
对任意给定的正数ε,总存在正数M,
x>
M
当时,恒有|f(x)-A|<
ε成立(A为常数),则称函数,
limf(x)=A
当x趋向于无穷大时的极限为A,记作x→∞.
limf(x)
f(x)
注意:
x→∞存在,表示x→+∞和x→-∞都存在,
+∞
且两者相等,所以x→∞中的∞既有又有-∞的意义.
(5)函数极限的运算法则
limf(x)=A,limg(x)=B
如果x→ax→a(a
xx+,x-,+∞,-∞,∞
可以是具体的
0,00
),那么
lim[f(x)+g(x)]=A+B
①x→a;
lim[f(x)g(x)]=AB
②x→a;
limf(x)=A(B≠0)
x→ag(x)B;
④当C是常数,n∈N+,
lim[Cf(x)]=Climf(x),lim[f(x)]n=[limf(x)]n
x→ax→ax→ax→a
(6)两个重要极限和等价无穷小
x
limsinx=1
lim⎛1+1⎫=e
x→∞
1
lim(1+x)x=e∞
x→0x
,⎝x⎭(或x→0
)
(1)
等价无穷小替换:
当x→0时,sinx~x~arcsinx,
,,
tanx~x~arctanx,e-1~x~ln(1+x)ax~1-xlna
1-cosx~1x2
,
2(1+x)a-1~ax
(7)数学教学原则:
数学教学原则,应根据数学教学目的和数学学科特点,以及学生学习数学心理特点来确定.目前,在中学数学教学中,主要应遵循如下基本原则:
①抽象与具体相结合原则
这一原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映.也就是说,在数学教学中既要促使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型,形成鲜明的表象,又要引导学生在感知材料的基础上进行抽象思维,形成正确的概念、判断和推理.
②严谨性与量力性相结合原则
数学的严谨性,是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性,即逻辑的严格性和结论的确定性.量力性是指学生的可接受性.
③理论与实际相结合原则
理论与实际相结合,既是认识论与方法论的基本原理,又是教学论中的一般原理.这一原则是数学特点所决定的.
④巩固与发展相结合原则
数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程,巩固与发展不能截然分开,应在发展的过程中进行巩固,在巩固的基础上向前发展.古人提出“温故而知新”就是这个道理.因此在教学中应很好地调节这两方面的进程,以便获得更好的教学效果.
一、选择题
◢考题汇编◣
1.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是黄灯的概率为()
1511
A.12B.12
C.6D.2
【答案】A.解析:
抬头看信号灯时,是黄灯的概率为:
5÷
(30+25+5)=5÷
60=12故选:
A.
2.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机的选一点,则该地点无信号的概率是().
1-π
A.4
2-π
π-1
B.2
π
C.2D.4
【答案】A.解析:
此题是几何概型问题.矩形内无信号的区域
面积是矩形减去两个扇形的面积,所以该地点无信号的概率为
2-1π
2=1-
24.
3.当x→0时,与1+x-1为同阶无穷小的是()
A.
【答案】A.解析.
1(1+x3)-3⋅1x-3
D.x
1-21
=lim33=lim(1+x3)3=
x→0
选A.
2n2+n+2
1-2
x3
3
x→033
an=
4.
n2-3
,则n→∞的值为()
A.2B.3C.4D.5
2n2+n+24n+14
n→∞
=lim
n→∞2n
=lim=2
n→∞2.
5.已知函数
f(x)=
3x+7
x2-2x-3的间断点()
7
A.X=7B.X=-3
C.X=-1或X=3D.X=1或X=-3
【答案】C.解析:
x2-2x-3,
x-2x-3=0,x=3,-1
2
,所以3,-1是函数的间断点.
lim1[1+2+3+...+n]=
6.x→+∞n2()
A.∞B.0C.1D.2
【答案】D.解析:
n(n+1)
lim1[1+2+3+...+n]=lim2=1
由x→+∞n2
3x3+2x-1=
x→∞n2
2,故选D.
7.计算:
x→∞7x3-5x2+2
().
A.2
【答案】B
B.7
C.2
D.5
二、填空题
lim⎛1-
1.极限⎝
【答案】e.
1⎫x
⎪
⎭
=.
-1
⎛1⎫x⎡⎛1⎫-x⎤1
lim1-
解析:
=lim⎢ç
1-⎪⎥
x→∞⎢⎣⎝⎭⎥⎦
=e-1=
e
lim⎛1+
2.⎝
2⎫-n
⎭=.
【答案】
-n
e-2
.【解析】根据两个重要极限
n
lim⎛1+2⎫=lim{⎛1+2⎫2}-2=e-2
n→∞ç
n⎪n→∞ç
n⎪
⎝⎭⎝⎭.三、简答题
ε-δ
lim(x2-6x+10)=2
1.用证明x→2
【答案】证明过程如下.解析:
x2-6x+10-2=
证明:
x2-6x+8=
x-2
x-4
,对任
意正数,
ε>
0,
取σ则=当m时in(ε于,1),
x-2<
σ.
x-4=x-2-2≤x-2+2<
3
所以
x-4<
ε⋅3=ε,3
limx2-6x+10=2
则x→2.
2.数学教学应遵循“严谨性与量力性相结合的原则”,结合案例来谈谈你的认识.
【答案】
(1)认真了解学生的心理特点与接受能力,是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提.“备课先备学生”的经验之谈,就出于此.也就是说,只有全面地了解学生情况,才能使制订的教
学计划与内容安排真正做到有的放矢、因材施教,才能真正贯彻好
这一原则.
(2)在教学中,应设法安排使学生逐步适应的过程与机会,逐步提高其严谨程度,做到立论有据.例如初学平面几何的学生,对严格论证很不适应,教学时应先由教师给出证明步骤,让学生只填每一步的理由,鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神,合情合理地提出教学要求,逐步过渡到学生自己给出严格证明,最后要求达到立论有据,论证简明.但绝不能消极适应学生,人为地降低教材理论要求,必须在符合内容科学性的前提下,结合学生实际组织教学.(3)在数学教学中,注意从准确的数学基础知识和语言出发培养严谨性.这就要求教师备好教材,达到熟练准确,不出毛病.另外要严防忽略公式、法则、定理成立的条件.还要注意逐步养成学生的语言精确习惯.这就要求教师有较高的教学语言素养,使自己的语言精确、简练、
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