高中数学第一章三角函数15函数yAsinωx+φ的图象2课时提升作业1新人教A版必修Word格式.docx
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C.y=sinD.y=sin
【解析】选B.对于A,x=时y=sin=;
对于B,x=时,y=sin=1;
对于C,x=时,y=sin=;
对于D,x=时,y=sin=.综上知,
y=sin的图象关于直线x=对称.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>
0,ω>
0,|φ|<
)的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式是( )
A.f(x)=2sin(x∈R)
B.f(x)=2sin(x∈R)
C.f(x)=2sin(x∈R)
D.f(x)=2sin(x∈R)
【解析】选A.由图象可知A=2,
=4×
=2,
故ω=π,所以f(x)=2sin(πx+φ).
因为在函数f(x)的图象上,
所以2=2sin,
所以+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<
,所以φ=.所以f(x)=2sin.
【补偿训练】f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
【解析】选A.由图象知A=2,=4×
=π,故ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),
将x=,y=2代入上式得2=2sin
所以+φ=2kπ+,k∈Z,φ=2kπ+,k∈Z,
又|φ|<
.
所以φ=,所以f(x)=2sin.
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>
)的图象如图所示,为了得到g(x)=sinωx的图象,可以将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选A.由图象知A=1,=4=π,
故ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),
将x=,y=-1代入上式得-1=sin,
所以+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,
,所以φ=,
所以f(x)=sin=sin2.
将f(x)的图象向右平移个单位长度可得g(x)=sin2x的图象.
5.(xx·
长春高一检测)设函数f(x)=Asin(ωx+φ),的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则( )
A.f(x)的图象过点
B.f(x)在上是减函数
C.f(x)的一个对称中心是
D.f(x)的最大值是A
【解析】选C.因函数f(x)的周期是π,所以ω=2.
又因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×
+φ=+kπ,k∈Z,
即φ=-π+kπ,k∈Z.
又由|φ|<
知φ=,所以f(x)=Asin.
当x=0时,f(x)=Asin=,所以A错误,
由A≠0知f(x)在上的单调性不确定,故B错误,因为A的值不确定,所以f(x)的最大值也不确定,故D错误.
由2x+=kπ,k∈Z得x=-+π,k∈Z,
于是函数f(x)的一个对称中心为,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.y=sin相邻两条对称轴距离为,则ω为________.
【解析】由题意知=×
2,故|ω|=2,所以ω=±
2.
答案:
±
2
7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0<
A≤2,0<
ω<
2,-<
φ<
)的图象,列出的部分数据如表:
x
1
3
4
y
-1
-2
经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是________.
【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点,如图所示.
根据函数图象的大致走势,
可知点(1,0)不符合题意;
又因为0<
A≤2,
函数图象过(4,-2),所以A=2.
因为函数图象过(0,1),
所以2sinφ=1,所以φ=2kπ+,k∈Z,
又因为-<
,所以φ=.
由(0,1),(2,1)关于直线x=1对称,知x=1时函数取得最大值2,因此函数的最小正周期为6.
所以ω=.
所以函数的解析式为y=2sin.
y=2sin
8.(xx·
淮安高一检测)若函数f(x)=2sin(3x-π),有下列结论:
①函数f(x)的图象关于点对称;
②函数f(x)的图象关于直线x=π对称;
③在x∈为单调增函数.
则上述结论正确的是________.(填相应结论对应的序号)
【解析】对于①f=2sin=0,
所以函数f(x)的图象关于点对称,故①正确;
对于②f=2sin=2,
所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故②正确;
对于③,设u=3x-,则y=2sinu,u=3x-在上为增函数,且u∈,y=2sinu在上为增函数,
所以y=2sin在上单调递增,
故③正确.
①②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.函数f(x)=Asin(其中A>
0)的振幅为2,周期为π.
(1)求f(x)的解析式并写出f(x)的单调增区间.
(2)将f(x)的图象先左移个单位,再将每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)的图象,求g(x)的解析式和对称中心(m,0),m∈[0,π].
【解析】
(1)由题可知:
A=2且=π,所以ω=2,
所以f(x)=2sin.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
所以-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)g(x)=2sin,令x+=kπ,k∈Z,则x=kπ-,k∈Z,因为m∈[0,π],所以对称中心为.
10.将函数y=sinx的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再将所得图象各点纵坐标伸长为原来的4倍(横坐标不变),得到函数y=f(x)的图象.
(1)写出函数y=f(x)的解析式.
(2)求此函数的对称中心的坐标.
(3)用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象.
(1)这个函数y=f(x)的解析式为:
f(x)=4sin.
(2)使函数取值为0的点即为函数的对称中心,所以x-=kπ,k∈Z,所以x=(3k+1)π,k∈Z,
即函数的对称中心为((3k+1)π,0)(k∈Z).
(3)①列表
π
4π
7π
x-
2π
y=4sin
-4
②描点连线,图象如图:
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(xx·
衡阳高一检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0)在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值,且对于任意x1,x2∈[-1,1],x1≠x2,都有>
0,则( )
A.函数y=f(x+1)一定是周期为4的偶函数
B.函数y=f(x+1)一定是周期为2的奇函数
C.函数y=f(x+1)一定是周期为4的奇函数
D.函数y=f(x+1)一定是周期为2的偶函数
【解析】选A.因为对于任意x1,x2∈[-1,1],x1≠x2都有>
0.
所以函数f(x)在[-1,1]上为增函数,又因为f(x)在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值,所以f(x)的周期T=2×
[1-(-1)]=4,且直线x=-1和x=1是函数f(x)图象的对称轴,y=f(x)的图象向左平移1个单位得y=f(x+1)的图象,所以y=f(x+1)的图象关于y轴对称,y=f(x+1)是偶函数.
2.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>
f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解题指南】由f(x)≤知x=时,f(x)取得最大值或最小值.
【解析】选C.因为f(x)≤对x∈R恒成立,
所以当x=时f(x)取得最大值或最小值.
所以f=sin=±
1.
所以+φ=kπ+,k∈Z,故φ=kπ+,k∈Z,
当k为偶数时,f(x)=sin,
f=-sin=-,
f(π)=sin=有f<
f(π)不符合题意;
当k为奇数时,f(x)=-sin,
此时f=,
f(π)=-,有f>
f(π)符合题意.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)=-sin的单调递增区间是
k∈Z.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.设振幅、相位、初相为y=Asin(ωx+φ)+b(A>
0)的基本量,则y=3sin(2x-1)+4的基本量之和为________.
【解析】y=3sin(2x-1)+4的振幅为3,相位是2x-1,初相是-1,故基本量之和为3+2x-1-1=2x+1.
2x+1
4.(xx·
哈尔滨高一检测)关于函数f(x)=4sin(2x-)(x∈R),有以下命题:
①y=f是偶函数;
②要得到g(x)=-4sin2x的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位长度;
③y=f(x)的图象关于直线x=-对称;
④y=f(x)在[0,π]内的增区间为,,其中正确命题的序号为________.
【解析】①y=f=4sin
=4sin
=4sin不是偶函数,故①错误;
②将f(x)的图象向右平移个单位长度得到
g(x)=f=4sin
=-4sin(π-2x)=-4sin2x,
故②正确;
③f=4sin=-4,故y=f(x)的图象关于直线x=-对称;
故③正确;
④由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z得
kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
设A={x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z},B=[0,π].
A∩B=∪
所以y=f(x)在[0,π]内的增区间为,,故④正确.
②③④
【补偿训练】下列命题中,
①函数y=sin是偶函数;
②已知cosα=,且α∈[0,2π],则α的取值集合是;
③直线x=是函数y=sin图象的一条对称轴;
④函数y=的周期是;
把你认为正确的命题的序号都填在横线上________.
【解析】①y=sin=cos2x是偶函数,①正确;
②cosα=且α∈[0,2π],则α的取值集合是,②错误;
③当x=时y=sin=sin=-1,故③正确;
④函数y=的周期是=π,故④错误.
①③
南通高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图所示.
(1)求出函
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