定积分概念与性质ConceptWord下载.docx
- 文档编号:14706313
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:204.89KB
定积分概念与性质ConceptWord下载.docx
《定积分概念与性质ConceptWord下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《定积分概念与性质ConceptWord下载.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,
称为黎曼和。
Letbedefinedontheclosedinterval,andletbeanarbitrarypartitionof,,whereisthewidthofthethsubinterval.Ifisanypointinthethsubinterval,thenthesum
,,
IscalledaRiemannsumforthepartition.
二、定积分的定义(DefinitionofDefiniteIntegral)
定义定积分(DefiniteIntegral)
设函数在区间上有界,在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间:
各个小区间的长度依次为,,…,。
在每个小区间上任取一点,作函数与小区间长度的乘积(),并作出和
。
记,如果不论对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分),记作,即
==,
其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间。
Letbeafunctionthatisdefinedontheclosedinterval.Considerapartitionoftheintervalintosubinterval(notnecessarilyofequallength)bymeansofpointsandlet.Oneachsubinterval,pickanarbitrarypoint(whichmaybeanendpoint);
wecallitasamplepointfortheithsubinterval.WecallthesumaRiemannsumforcorrespondingtothepartition.
Ifexists,wesayisintegrableon,where.Moreover,,calleddefiniteintegral(orRiemannIntegral)offromto,isgivenby
=.
Theequality=meansthat,correspondingtoeach>
0,thereisasuchthat<
forallRiemannsumsforonforwhichthenormoftheassociatedpartitionislessthan.
Inthesymbol,iscalledthelowerlimitofintegral,theupperlimitofintegral,andtheintegralinterval.
定理1可积性定理(IntegrabilityTheorem)
设在区间上连续,则在上可积。
Theorem1Ifafunctioniscontinuousontheclosedinterval,itisintegrableon.
定理2可积性定理(IntegrabilityTheorem)
设在区间上有界,且只有有限个间断点,则在区间上可积。
Theorem2Ifisboundedonandifitiscontinuousthereexceptatafinitenumberofpoints,thenisintegrableon.
三.定积分的性质(PropertiesofDefiniteIntegrals)
两个特殊的定积分
(1)如果在点有意义,则;
(2)如果在上可积,则。
TwoSpecialDefiniteIntegrals
(1)Ifisdefinedat.Then.
(2)Ifisintegrableon.Then.
定积分的线性性(LinearityoftheDefiniteIntegral)
设函数和在上都可积,是常数,则和+都可积,并且
(1)=;
(2)=+;
andconsequently,
(3)=-.
Supposethatandareintegrableonandisaconstant.Thenandareintegrable,and
(1)=;
性质3定积分对于积分区间的可加性(IntervalAdditivePropertyofDefiniteIntegrals)
设在区间上可积,且,和都是区间内的点,则不论,和的相对位置如何,都有=+。
Property3Ifisintegrableonthethreeclosedintervalsdeterminedby,,and,then
=+
nomatterwhattheorderof,,和.
性质4如果在区间上1,则==。
Property4If1foreveryin,then
==.
性质5如果在区间上,则。
Property5Ifisintegrableandnonnegativeontheclosedinterval,then
.
推论1。
2定积分的可比性(ComparisonPropertyforDefiniteIntegrals)
如果在区间上,,则
用通俗明了的话说,就是定积分保持不等号。
Corollary1,2Ifandisintegrableontheclosedinterval,andforallin.Then
and
Ininformalbutdescriptivelanguage,wesaythatthedefiniteintegralpreservesinequalities.
性质6积分的有界性(BoundednessPropertyforDefiniteIntegrals)
如果在上连续,且对任意的,都有,则。
Property6Ifiscontinuousonandforallin.Then
性质7积分中值定理(MeanValueTheoremforDefiniteIntegrals)
如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一点,使下式成立
=,
且
=
称为函数在区间上的平均值。
Property7Ifiscontinuouson,thereisatleastonenumberbetweenandsuchthat
and
iscalledtheaveragevalueofon.
5.2微积分基本定理(FundamentalTheoremofCalculus)
一.积分上限的函数及其导数(AccumulationFunctionandItsDerivative)
定理1微积分基本定理(FundamentalTheoremofCalculus)
如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是
Theorem1Letbecontinuousontheclosedintervalandletbea(variable)pointin.Then=isdifferentiableon,and=.
定理2原函数存在定理(TheExistenceTheoremofAntiderivative)
如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.
Theorem2Ifiscontinuousontheclosedinterval,then=isanantiderivativeofon.
二.牛顿-莱布尼茨公式(Newton-LeibnizFormula)
定理3微积分第一基本定理(firstFundamentalTheoremofCalculus)
如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,
则
=
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
Theorem3Letbecontinuous(henceintegrable)on,andletbeanyantiderivativeofon.Then
whichiscalledtheNewton-LeibnizFormula.
5.3定积分的换元法和分部积分法(integrationbySubstitutionandDefiniteIntgralsbyParts)
一.定积分的换元法(SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals)
二.定理定积分的换元法(SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals)
假设函数在区间上连续,函数满足条件
(1),;
(2)在(或)上具有连续导数,且其值域,则有
=,
上面的公式叫做定积分的换元公式.
TheoremLethaveacontinuousderivativeon(or),andletbecontinuouson.If,andtherangeofisasubsetof.Then
whichiscalledthesubstitutionrulefordefiniteintegrals.
二.定积分的分部积分法(DefiniteIntegrationbyParts)
根据不定积分的分部积分法,有
简写为
或
Accordingtotheindefiniteintegrationbyparts,
Forsimplicity,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 积分 概念 性质 Concept