最后冲刺系列:解析几何专题系列二解析几何中的定点、定值问题Word文档下载推荐.doc
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第19题证明定值问题
[备考策略提升信心]
高考中重点关注以下几方面的问题:
1.直线方程、圆的方程、直线与圆及直线与圆锥曲线的位置关系,重点是直线与圆的位置关系;
2.圆锥曲线的标准方程和几何性质,特别是椭圆的标准方程及几何性质,同时注意它们的图形特征;
3.轨迹问题求解的常用方法;
数形结合思想以及函数与方程思想的应用;
4.求圆锥曲线的方程的运算的要求有所提高,考查趋于方程的变形运算。
[小题训练激活思维]
1.已知椭圆过定点,圆,直线与椭圆交于两点,且,则直线与圆的位置关系是。
相切
2.若双曲线的右支上一点到直线的距离为,则的值是
。
3.已知为坐标原点,定点,动点是直线上的点,过点作的垂线与以为直径的圆交于点,则线段的长为。
4.已知椭圆的左顶点为,右焦点为,点在右准线上运动,记直线的斜率分别为,若椭圆的离心率为,则
5.已知直线及点.当点到直线的距离最大时,直线的方程是.
变式1:
变式2:
[核心问题聚焦突破]
已知椭圆经过点,离心率为,直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点,点在直线上的射影依次为点。
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交轴于点,且,,当直线的倾斜角变化时,探求的值是否为定值?
若是,求出的值;
否则,说明理由;
(3)连接,,试探索当直线的倾斜角变化时,直线与是否相交于定点?
若是,求出定点的坐标,并给出证明;
否则,说明理由。
[来源:
]
变式训练:
已知椭圆的左右焦点为,点为椭圆上的动点,弦分别过点,设,求证:
为定值.
[变式拓展分类解密]
考点1:
定值问题
例1:
已知点是椭圆的长轴上异于顶点的任意一点,过点且与轴不垂直的直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为,设直线交轴于点,试判断是否为定值?
并证明你的结论。
变式训练1:
如图,已知椭圆C:
,A、B是四条直线所围成的两个顶点.
(1)设P是椭圆C上任意一点,若,求证:
动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程;
(2)若M、N是椭圆C上两个动点,且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积,试探求的面积是否为定值,说明理由。
⑴易求,.………2分
设,则.由,得,
所以,即.故点在定圆上.…8分
⑵设,,则.
平方得,即.…10分
因为直线的方程为,
所以到直线的距离为,…12分[来源:
所以的面积
==.
故的面积为定值.…16分
变式训练2:
已知椭圆,直线与椭圆交于两点,点,
(1)求弦中点的轨迹方程;
(2)设直线斜率分别为,求证:
考点2:
直线过定点问题
例2:
已知椭圆,过点的动直线交椭圆于两点,关于轴的对称点为,问直线是否经过轴上的一个定点?
若是,求出定点坐标;
不是,说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,椭圆:
若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点设过点垂直于的直线为.求证:
直线过定点,并求出定点的坐标.
证明:
直线的斜率为,直线的斜率为,
则直线的方程为,
==,
所以直线过定点.
说明:
本题结论可推广至一般情形
如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1上一点P(1,),过点P的直线l1,l2与椭圆C分别交于点A,B(不同于P),且它们的斜率k1,k2满足k1k2=-.
x
y
O
A
P
l1
B
l2
(1)求证:
直线AB过定点;
(2)求△PAB面积的最大值.
考点3:
圆过定点问题
例3:
椭圆:
过点的动直线交椭圆于两点,试问:
在直角坐标平面内是否存在一个定点,使得无论直线如何转动,以为直径的圆恒过点?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,则说明理由。
解答:
考点4:
定位置关系
例4:
设是椭圆的左右焦点,分别为左顶点和上顶点,过右焦点的直线交椭圆于两点,直线分别与已知直线交于点,试探究以为直径的圆与直线的位置关系.
[专题总结画龙点睛]
内容总结与方法总结:
:
解析几何中定点、定值问题主要有以下三种题型:
1.定点问题:
解题关键在于找出题中用于联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式等,然后将已知量、未知量代入上述关系,通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。
2.定值问题:
解题关键在于选定一个适合该题设的参变量,用题中的已知量、参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质等,再用韦达定理、点差法等导出所求定值关系式所需的表达式,并代入所求定值关系式,化简整理求出结果。
3.定位置关系问题:
主要是直线垂直、向量垂直问题,等价转换为斜率乘积为或者向量的数量积为。
[专题检测水到渠成]
1.已知是圆上任意两点,点关于轴的对称点为,若直线分别交轴于点和,则。
2.已知,过任作一条直线交抛物线于两点,若
为定值,则。
4
3.设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连接交椭圆于另一点,则直线与轴必相交于定点
4.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为.经过三点的圆必过异于的定点_______________
5.(2011苏北四市二模12)已知椭圆,A、B是其左右顶点,动点M满足MB⊥AB,连接AM交椭圆于点P,在x轴上有异于点A、B的定点Q,以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点,则点Q的坐标为_________
6.已知分别是椭圆的左、右顶点和上顶点,过点的直线与椭圆交于另一点,并与轴交于点,直线与直线交于点。
当点异于点时,求证:
为定值。
A1
Q
H
A2
7.若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:
+=1,A1,A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设P为椭圆C2上异于A1,A2的任意一点,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,线段PQ交椭圆C1于点H.求证:
H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)
8.已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
解:
依题设c=1,且右焦点(1,0).
所以,2a==,b2=a2-c2=2,
故所求的椭圆的标准方程为.…………………………………………………………4分
(2)设A(,),B(,),则①,②.
②-①,得.
所以,k1=.………………………………………………………9分
(3)依题设,k1≠k2.
设M(,),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,
代入椭圆方程并化简得.
于是,,.……………………………………………………………11分
同理,,.
当k1k2≠0时,
直线MN的斜率k==.……………………………………13分
直线MN的方程为,
即,
亦即.
此时直线过定点.………………………………………………………………………………15分
当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点.
综上,直线MN恒过定点,且坐标为.……………………………………………16分
9.平面直角坐标系中,焦点在轴上的椭圆的短轴长为,半焦距为
若存在一个中心在原点,分别以椭圆的短轴为实轴、长轴为虚轴的双曲线E,已知双曲线E与轴交于两点,在E上任取一点,直线分别交轴于两点,求证:
以为直径的圆恒过两定点。
定点
学§
科§
网]
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