高考数学一轮复习知识点与练习直线平面平行的判定和性质Word文档格式.docx
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a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
α∥β,a⊂β
α∥β
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )
(6)空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则EF∥平面BCD.( )
(7)若α∥β,直线a∥α,则a∥β.( )
1.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则下列说法正确的是________.
①α内的所有直线与l异面;
②α内不存在与l平行的直线;
③α内存在唯一的直线与l平行;
④α内的直线与l都相交.
2.设α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,在命题“α∩β=m,n⊂γ,且________,则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,n⊂β;
②m∥γ,n∥β;
③n∥β,m⊂γ.
可以填入的条件有________.
3.(教材改编)下列命题中正确的是________.
①若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;
②若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;
③平行于同一条直线的两个平面平行;
④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
4.(教材改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.
5.过三棱柱ABC-A1B1C1任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
命题点2 直线与平面平行性质定理的应用
例2 (2014·
安徽)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:
GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法:
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°
,∠BAC=∠CAD=60°
,E为PD的中点,AB=1,求证:
CE∥平面PAB;
(2)如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.求证:
四边形EFGH是矩形.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例条件下,若D为BC1的中点,求证:
HD∥平面A1B1BA.
2.在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
思维升华 证明面面平行的方法:
(1)面面平行的定义;
(2)面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
如图,在三棱锥S—ABC中,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F.点E,G分别是棱SA、SC的中点.求证:
平面EFG∥平面ABC.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时其截面面积最大?
思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.
5.立体几何中的探索性问题
典例 (14分)如图,在四棱锥S-ABCD中,已知底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,∠BAD=90°
,SA⊥底面ABCD,SA=AB=BC=2.tan∠SDA=.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)在棱SD上找一点E,使CE∥平面SAB,并证明.
解决立体几何中的探索性问题的步骤
第一步:
写出探求的最后结论.
第二步:
证明探求结论的正确性.
第三步:
给出明确答案.
第四步:
反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.
温馨提醒
(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾的结论就否定假设.
(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:
从结论出发“要使……成立”,“只需使……成立”.
[方法与技巧]
1.直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法;
(2)判定定理;
(3)面与面平行的性质.
2.平面与平面平行的主要判定方法
(3)推论;
(4)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.
[失误与防范]
1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误.
2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;
而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.
3.解题中注意符号语言的规范应用.
A组 专项基础训练
(时间:
40分钟)
1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是________.
①AB∥CD;
②AD∥CB;
③AB与CD相交;
④A,B,C,D四点共面.
2.(2015·
安徽改编)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是________.
①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行;
②若m,n平行于同一平面,则m与n平行;
③若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线;
④若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.
3.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是________.
①若l∥α,l∥β,则α∥β;
②若l⊥α,l⊥β,则α∥β;
③若l⊥α,l∥β,则α∥β;
④若α⊥β,l∥α,则l⊥β.
4.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为________.
5.下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.
6.在四面体A-BCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
7.如图所示,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=______.
8.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,动点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.
9.如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
10.如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证:
(1)EG∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
B组 专项能力提升
30分钟)
11.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题中错误的是________.
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若α∥γ,β∥γ,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β;
④若m,n是异面直线,m⊂α,m∥β,n⊂β,n∥α,则α∥β.
12.如图,空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是________.
13.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.
14.(2015·
四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.
15.如图,四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点.
(1)求三棱锥A—PDE的体积;
(2)AC边上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?
若存在,求出AM的长;
若不存在,请说明理由.
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