角平分线性质辅导资料含答案Word格式文档下载.docx
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角平分线判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.
如果有CB=BD,则有AB是∠CAD的平分线。
点击三:
三角形的三条角平分线交于三角形内一点,并且这个点到三角形三边的距离相等.
在三角形ABC中,AD是∠BAC,BE是∠ABC的角平分线,则有IH=IG=IF。
类型之一:
求证角平分线的性质定理
例1:
三角形的三条角平分线交于一点,你知道这是为什么吗?
【解析】我们知道两条直线是交于一点的,因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点.
【答案】已知:
如图,△ABC的角平分线AD与BE交于点I,求证:
点I在∠ACB的平分线上.
证明:
过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC,垂足分别是点H、G、F.
∵点I在∠BAC的角平分线AD上,且IH⊥AB、IG⊥AC
∴IH=IG(角平分线上的点到角的两边距离相等)
同理IH=IF∴IG=IF(等量代换)
又IG⊥AC、IF⊥BC
∴点I在∠ACB的平分线上(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)
即:
三角形的三条角平分线交于一点.
类型之二:
利用角平分线的性质求线段之比
例2:
如图,已知:
∠BAC=30,G为∠BAC的平分线上的一点,若EG∥AC交AB于E,GD⊥AC于D,GD:
GE=()
【解析】作GF⊥AB于F(目的是为了用定理)
∵AG平分∠BAC,GD⊥AC
∴GF=GD(角平分线的性质定理)
∵EG∥AC,∠BAC=300
∴∠FEG=300
∴FG:
EG=1:
2
∴GD:
GE=1:
【答案】1:
类型之三:
利用角平分线的性质求角的度数
例3:
在△ABC中,∠ABC=100,∠ACB=20,CE平分∠ACB交AB于E,D在AC上,且∠CBD=20。
求∠CED的度数。
【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。
【答案】作EF⊥AC,延长CB,作EG⊥CB
EH⊥BD
∵CE平分∠ACB,∠ACB=200,
∴∠BCE=∠DCE=100,
∵∠CBD=200
∴∠BDA=400
∵∠ABC=1000,∠CBD=200
∴∠ABG=800,∠ABD=800
∴∠ABG=∠ABD
∴EH=EG
可证△BEH≌△BEG(AAS)
∵CE平分∠ACB,
∴EF=EG(角平分线性质定理)
∴EF=EH
∴DE平分∠BDA(角平分线的判定定理)
∴∠EDA=200
∵∠EDA=∠ECA+∠CED
∴∠CED=200-100=100
1.如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,C.下列结论错误的是().
A.AD=CPB.△ABP≌△CBP
C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB.
【解析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP,△ABD≌△CBD,∠ADB=∠CDB三项成立,A项不成立,能推出AD=DC,也能推得AP=PC。
【答案】A
2.如图所示,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,若PA=PB,则∠1与∠2的大小是()
A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定
【解析】∵AD⊥OB,BC⊥OA,PA=PB,由角平分线的判定可知∠1=∠2.
3.△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,若AB=12cm,则△DBE的周长为()
A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm
【解析】∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∠C=90°
,易得△ACD≌△AED,
∴CD=DE,AE=AC,∴△DBE的周长=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=12cm.
1.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_____.
【解析】角平分线上的一点到角的两边距离相等即可得到D到AC的距离是5.
【答案】5
2.如图,已知D为△ABC的BC边的中点,DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC,
求证:
BE+CF>
EF.
【解析】在DA上取一点M,使DM=DB=DC,连结EM、MF,实质上是将△DBE及△DFC分别沿DE、DF翻折180°
得到△DEM及△MFD,从而使问题得到解决的.
【答案】在DA上取一点M,使DM=DB=DC,连结EM、MF,
∵DE平分∠ADB,∴∠BDE=∠EDM.
又∵DM=BD,DE=DE,∴△BED≌△MED.
同理可得△MFD≌△CFD.
∴BE=EM,CF=MF.
∵在△EMF中,EM+MF>
∴BE+CF>
EF.
1.(角平分线性质与方程的结合解题)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,CE⊥AB于E,∠ACB=78°
,∠BAD=∠ABD,求∠ADB和∠BCE的度数.
【解析】要求∠ADB及∠BCE度数,依条件知∠DBC=∠DBA=∠DAB.采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系,所以设∠DBA为x.设元后,再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程.
【答案】解:
在△ABC中,∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=∠DBA.
又∵∠DBA=∠DAB,设∠DBA=x,那么∠DBC=∠DAB=x.
又∠ACB=78°
,∵∠DAB+∠ABC+∠ACB=180°
,
∴x+2x+78°
=180°
,解得x=34°
.
故在△ADB中,∠ADB=180°
-∠DAB-∠DBA=180°
-2x=112°
.
在△BCE中,∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°
∴∠BCE=180°
-∠CBE-∠CEB=180°
-2x-90°
=22°
故∠ADB=112°
,∠BCE=22°
课时作业:
A等级
1.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是()
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
2.如图,已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线,则图中与∠BCE互余的角有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.如图,已知点P到AE、AD、BC的距离相等,则下列说法:
①点P在∠BAC的平分线上;
②点P在∠CBE的平分线上;
③点P在∠BCD的平分线上;
④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点,其中正确的是()
A.①②③④B.①②③C.④D.②③
4.下列说法:
①角的内部任意一点到角的两边的距离相等;
②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上;
③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等;
④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等,其中正确的()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.角的平分线上的点到_____________相等;
到____________相等的点在这个角的平分线上.
6.如图,△ABC中,AC⊥CB,CD平分∠ACB,点E在AC上,且CE=CB,则下列结论:
①CD平分∠BDE;
②BD=DE;
③∠B=∠CED;
④∠A+∠CED=90°
.其中正确的有()
7.∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离为1.5㎝,则M到OB的距离为 ㎝。
8.在△ABC中,∠C=90°
,AD是∠BAC的角平分线,若BC=5㎝,BD=3㎝,则点D到AB的距离为 。
9.如图,∠A=90°
BD是△ABC的角平分线,AC=8㎝,DC=3DA,则点D到BC的距离为 。
10.如图,∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论错误的是( )
A、PD=PE B、OD=OE C、∠DPO=∠EPO D、PD=OD
B等级
11.如图,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°
,则下列结论:
①∠3=∠4;
②∠1=∠2;
③∠5=∠6;
④AC垂直且平分BD,其中正确的有()
A.①②③④B.①②③C.①③D.①③④
12.如图,三条公路两两交于点A、B、C,现要修一个货物中转站,要求到三条公路距离相等,则可供选择的地址有()
A.一处B.二处C.三处D.四处
13.△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠BAC交BC于D,且BD:
CD=3:
2,BC=15cm,则点D到AB的距离是__________.
14.如图,已知点D是△ABC中AC边一点,点E在AB延长线上,且△ABC≌△DBE,∠BDA=∠A.若∠A:
∠C=5:
3,则∠DBE的度数是()
A.100°
B.80°
C.60°
D.120°
15.如图,已知△ABC中,∠C=90°
,E是AB的中点,D在∠B的平分线上,且DE⊥AB,则()
A.BD<AEB.BC=AEC.BC<AED.以上都不对
16.如图,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°
②∠1=∠2;
A.①②③④B.①②③C.①③D.①③④
17.已知:
如图⑷,P是∠AOB的平分线上的一点,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,写出图中一组相等的线段(只需写出一组即可).
18.如图,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,且PE=2cm,则AB与CD之间的距离是___________.
19.用直尺和圆规平分已知角的依据是______________.
20.到三角形三边的距离相等的点是三角形()
A.三条边上的高的交点B.三个内角平分线的交点
C.三边上的中线的交点D.以上结论都不对
C等级
21.如图△ABC中,∠C=90°
AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6㎝,则△DEB的周长为( )
A、4㎝ B、6㎝ C、10㎝ D、不
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