高二数学合情推理测试题Word文档下载推荐.docx
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(2)从已知的相同特征中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).
4、由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理(简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理,类比推理是以旧的知识为基础,推测新的结果,具有发现的功能,类比推理的结论不一定成立。
类比推理的一般步骤是:
(1)找出两类对象之间的类似特征;
(2)用一类事物的特征去推测另一类事物的特征,得出一个明确命题(猜想).
【典型例题】
例1、数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
凸多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
四棱柱
6
8
12
三棱锥
4
八面体
三棱柱
5
9
四棱锥
尖顶塔
16
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为:
F+V-E=2
例2、通过计算可得下列等式:
……
将以上各式分别相加得:
即:
类比上述求法:
请你求出的值。
解:
所以:
例3、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;
第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以表示第n堆的乒乓球总数,则;
(答案用n表示)
分析:
解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系,即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数;
其次是求出第一层的通项公式。
f
(1)=1,观察图象可知f
(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数,而第一层的个数满足1,3,6,10,……,通项公式是,所以f(n)=f(n-1)+,
所以有:
f
(2)-f
(1)=
f(3)-f
(2)=
f(4)-f(3)=
……………………………………
f(n)-f(n-1)=
以上各式相加得:
f(n)=f
(1)+
=
所以应该填:
10;
点评:
求f(n)的通项公式时运用累差法思想求解。
可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。
解决问题的关键是找到相邻两项的关系。
例4、半径为r的圆的面积,周长,若将r看作上的变量,则,①,①式可用语言叙述为:
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球,若将R看作上的变量,请你写出类似于①的式子:
_________________,②,②式可用语言叙述为___________.
由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式,类似写出恰好成立,
.
答案:
①②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
主要考查类比意识,考查学生分散思维,注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比。
例5、在平面上有n条直线,任何两条都不平行,并且任何三条都不交于同一点,问这些直线把平面最多分成多少部分?
解析:
设n条直线分平面为部分,先试验观察特例有如下结果:
n
1
2
3
…
7
11
22
与之间的关系发现如下规律:
-
这是因为在n-1条直线后添加第n条直线被原n-1条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二,相应地增加n部分,所以=,即-
从而-,-,-,…,-
将上面各式相加有-,所以
==2+2+3+…+n=1+(1+2+…+n)=1+
【注意】也可由如下观察发现,由上表知:
,,
,=1+1+2+3+4,依此类推,便可猜想到:
=1+2+3+…+n=1+
运用归纳推理需要考查部分对象的情形,从而归纳猜想出一般规律,这样往往有时计算量大,易出偏差,且内部潜在的规律性有时难于看出来,就用“递推法”取代“经验归纳法”转向考查问题每递进一步所反映的规律,即探求递推关系,最后用初始值及递推关系来寻找一般规律。
【模拟试题】
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.数列…中的等于()
A.B.C.D.
2.观察下列数:
1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是()
A.42,41,123;
B.13,39,123;
C.24,23,123;
D.28,27,123.
3.一同学在电脑中打出如下若干个圈:
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●有()个
A.12B.13C.14D.15
4.下面使用类比推理正确的是()
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出“”
C.“若”类推出“(c≠0)”
D.“”类推出“”
5.设,,n∈N,则
A.B.-C.D.-
6.在十进制中,那么在5进制中数码2004折合成十进制为()
A.29B.254C.602D.2004
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
7.从中得出的一般性结论是_____________
8.若数列中,则
9.观察
(1);
(2)。
通过观察上述两等式的规律,则一般性的命题为_____________
10.若数列的通项公式,记
,试通过计算的值,推测出
三、解答题(本大题共4题,共50分)
11.已知:
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明。
12.自然状态下鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响,用表示某鱼群在第年年初的总量,,且>0。
不考虑其它因素,设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比,死亡量与成正比,这些比例系数依次为正常数。
(Ⅰ)求与的关系式;
(Ⅱ)猜测:
当且仅当,满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变?
(不要求证明)
13.在DEF中有余弦定理:
.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式,并予以证明.
14.已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列;
是公差为的等差数列;
是公差为的等差数列().
(1)若,求;
(2)试写出关于的关系式,并求的取值范围;
(3)续写已知数列,使得是公差为的等差数列,……,依次类推,把已知数列推广为无穷数列.提出同
(2)类似的问题(
(2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
【试题答案】
1.B
推出
2.A
3.C
4.C
5.D
6.B
7.注意左边共有项
8.前项共使用了个奇数,由第个到第个奇数的和组成,即
9.若都不是,且,则
10.
11.解:
一般性的命题为
证明:
左边
所以左边等于右边
12.解:
(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n∈,从而由(*)式得
因为x1>
0,所以a>
b。
猜测:
当且仅当a>
b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变。
13.分析:
根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
作斜三棱柱的直截面DEF,则为面与面所成角,在中有余弦定理:
,
同乘以,得
即
14.解:
(1)
(2)
当时,.
(3)所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是:
试写出关于的关系式,并求的取值范围.
研究的结论可以是:
由,
依次类推可得
当时,的取值范围为等.
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