三角函数在实际生活中的应用.docx
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三角函数在实际生活中的应用
第三章三角函数在实际生活中的应用
三角学的发展,由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久,在古代,由于古代天文学的需要,为了计算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时,往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学;虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学,但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。
三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。
它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
由于三角函数具有周期性,所以并不具有单射函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有重要的应用,在物理学中也是常用的工具。
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中,三角函数也是常用的工具。
在实际生活中,有许多周期现象可以用三角函数来模拟,如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等,都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题;很多最值问题都可以转化为三角函数来解决,如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。
因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。
停车场设计问题
如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮,其中ATPN是一半径为90m的扇形小山,P是弧TN上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在上的长方形停车场,求长方形停车场面积的最大值和最小值。
分析:
矩形的面积显然跟的位置有关,连,延长若直接设,则,在中,,从而得,)·x,虽然可以得出函数关系,但是求解面积的最值比较复杂。
不妨以角为变量建立函数关系。
解:
如上添加辅助线,设,则,,设,则。
代入化简得故当时,;当时,(m2)
通讯电缆铺设问题
如图,一条河宽km,两岸各有一座城市的直线距离是4km,今需铺设一条电缆连与,已知地下电缆的修建费是2万元/km,水下电缆的修建费是4万元/km,假定河岸是平行的直线(没有弯曲),问应如何铺设方可使总施工费用达到最少?
分析:
设电缆为时费用最少,因为河宽为定值,为了表示的长,不妨设
解:
设,则,
∴总费用为=
问题转化为求的最小值及相应的θ值,而表示点与点斜率的-2倍,有图可得在单位圆周上运动,当直线与圆弧切于点时,u取到最小值。
此时,∴,。
即水下电缆应从距B城(-)km处向城铺设,图三因此此时总费用达最小值2+2(万元)。
注:
本题在求u的最小值时,除了利用数结合的方法外,还可以利用三角函数的有界性等方法。
探索与思考:
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗?
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意义了吗?
食品包装问题
某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场,决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。
设计时要求同时满足如下条件:
(1)外包装要呈一封闭的圆锥形状;
(2)为减少包装成本,要求所用材料最省;(3)为了方便携带,包装后每个糖果的体积最小。
问:
这些条件能同时满足吗?
如果能,如何设计这个圆锥的底面半径和高?
此时所用的外包装用料是多少?
体积是多少?
若不能,请说明理由。
分析:
要求该圆锥的全面积和体积,需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC,这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。
解:
如图,设,则,下底面半径,母线长,高则(+1)=;
=
∴当且仅当,即时,能使和同时取到最小值,此时,即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件,外包装用料是,体积是。
营救区域规划问题
如图,在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A,一机艇以60km/h的速度从A出发,30分钟后因故障而停在湖里,已知机艇出发后先按直线前进,以后又改成正东,但不知最初的方向和何时改变方向。
如何去营救,用图示表示营救的区域。
分析:
1.要表示出一个区域,一般可在直角坐标系中表示,所以应首先建立直角坐标系;2.题中涉及到方向问题,所以不妨用方向角θ作为变量来求解。
解:
以A为原点,过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系,如图:
设机艇的最初航向的方位角为θ,设OP方向前进m到达点P,然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。
则,令点Q的坐标为,
则
∴∵机艇中途东拐,∴…………①
又∵
满足不等式组①和②的点所在的区域,按对称性知上图阴影区域所示。
探索与思考:
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗?
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意义了吗?
足球射门问题
在训练课上,教练问左前锋,若你得球后,沿平行于边线的直线助攻到前场(如图,设球门宽米,球门柱到的距离米),那么你推进到距底线多少米时,为射门的最佳位置?
(即射门角最大时为射门的最佳位置)?
请你帮助左前锋回答上述问题。
分析:
本题中要求射门的最佳位置,题目中已对题意进行了明确,即只要当射门角最大时为最佳位置。
所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。
若直接在非特殊中利用边来求的最值,显得比较繁琐,注意到,而后两者都在中,故可应用直角三角形的性质求解。
解:
如图,设,,,=。
若令,则=,当,即时,取到最小值,从而可知时,取得最大值,即时,有最大值。
故当点距底线为米时,为射门的最佳位置。
依图像知,在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。
点评:
本例一开始也可直接建立余弦函数模型。
另外,模拟汉书中的少数点有误差是允许的。
最值问题
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。
这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。
如图,,其中是一半径为的扇形小山,其余部分都是平地。
一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点在弧上,相邻两边落在正方形的边上,求矩形停车场面积的最大值和最小值。
解:
设,,延长,
易得,,
从而
令,,
则,故当时,有最小值;当时,有最大值
[思维点拔]引进变量建立面积函数后,问题转化为求解三角函数的最值问题.
一条河宽1km,两岸各有一座城镇和的直线距离是4km,仅需在间铺设一条电缆。
已知地下电缆的修建费是2万元/km,水下电缆的修建费是2万元/km。
假设河的两岸呈平行线状,那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少?
A
图九
解:
如图所示,设过点作对岸的垂线,垂足为,若从到的线路铺设电缆,虽然最短,但陆上线路太长并不合算。
设在之间取一点,则,依题意知总施工费用y(万元)的函数关系式为
令,则
有
(1)
即先从镇沿河岸铺设地下电缆至距离镇km,处的点,再从点向镇铺设水下电缆,可使得总施工费用最少,约为11.2万元。
把一段半径为R的圆木,锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法,才能使横截面积最大?
分析:
如图所示:
设,则
当且仅当时,即时,
所以在圆木的横截面上截取内接正方形时,才能使横截面积最大。
生活中的实际问题:
在这里提供这样一个生活中的问题,看看它们与三角函数的联系。
(让学生探究解决)
在一住宅小区里,有一块空地,这块空地可能有这样三种情况:
(1)是半径为10米的半圆;
(2)是半径为10米,圆心角为的扇形;
(3)是半径为10米,圆心角为的扇形;
现要在这块空地里种植一块矩形的草皮,使得其一边在半径上,应如何设计,使得此草皮面积最大?
并求出面积的最大值。
分析1:
第一种情况,如图所示:
连结,
设,则,,
这时
此时,点A、D分别位于点O的左右方处时S取得最大值100。
分析2:
第二种情况,连结OC,
设,则,,
当且仅当时,即时,
分析3:
如图所示:
连结
设,则,,
当且仅当时,即时,
学生发言完毕,老师总结,将每个同学的发言简单整理;引导学生分析此题与引例中的题的联系。
试试身手:
(看谁做得快又准确)
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)
日期
1月1日
2月28
日
3月21
日
4月27
日
5月6
日
6月21
日
8月13
日
9月20
日
10月25日
12月21日
日期位置序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼时间y(小时)
5.6
(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在给定坐标系中画出这些数据的散点图;
(Ⅱ)试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注:
①求出所选用的函数关系式;②一年按365天计算]
(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
解:
(I)画散点图见下面.
(Ⅱ)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为
,
由图形知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,
即,
由19.4-5.4=14,得A=7;
由19,得;
又T=365,
(Ⅲ)
∴该地大约有121天(或122天)白昼时间大于15.9小时.
小结:
通过我们的研究,我们深深地体会到,身边就有数学,数学就在身边,在以后的学习过程中,只要我们勇于探索,有些同学可能会成为真正的发明家、创造者,我们现在的研究让它作为一个奠基,通过我们的研究开拓思路,为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。
总之,设“角”求解的应用题一般涉及到角与边之间的相互关系,对这类问题,有的虽然可以用边为变量建立函数关系,但往往求解比较困难。
用“角变量”建立函数关系后的求解过程是这类问题的另一难点,一般可以利用三角函数的相关知识,如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。
探索与思考:
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗?
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大,从而体会学习数学的意义了吗?
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