导数的概念导数公式与应用Word文档下载推荐.docx
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直线AB的斜率。
事实上,。
作用:
根据平均变化率的几何意义,可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二:
导数的概念:
1.导数的定义:
对函数,在点处给自变量x以增量,函数y相应有增量。
若极限存在,则此极限称为在点处的导数,记作或,此时也称在点处可导。
即:
(或)
①增量可以是正数,也可以是负数;
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限,即瞬时变化率。
2.导函数:
如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数。
函数的导数与在点处的导数不是同一概念,是常数,是函数在处的函数值,反映函数在附近的变化情况。
3.导数几何意义:
(1)曲线的切线
曲线上一点P(x0,y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y),经过点P、Q作曲线的割线PQ,其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0,y0),即△x→0时,割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为,则当△x→0时,割线PQ斜率的极限,就是切线的斜率。
。
(2)导数的几何意义:
函数在点x0的导数是曲线上点()处的切线的斜率。
①若曲线在点处的导数不存在,但有切线,则切线与轴垂直。
②,切线与轴正向夹角为锐角;
,切线与轴正向夹角为钝角;
切线与轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为:
。
4.瞬时速度:
物体运动的速度等于位移与时间的比,而非匀速直线运动中这个比值是变化的,如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度,我们采用瞬时速度这一概念。
如果物体的运动规律满足s=s(t)(位移公式),那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物体t到t+△t这段时间内,当△t→0时平均速度的极限,即。
如果把函数看作是物体的位移公式),导数表示运动物体在时刻的瞬时速度。
规律方法指导
1.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法:
①作差:
求出和
②作商:
对所求得的差作商,即。
(1),式子中、的值可正、可负,但的值不能为零,的值可以为零。
若函数为常数函数时,。
(2)在式子中,与是相对应的“增量”,即在时,。
(3)在式子中,当取定值,取不同的数值时,函数的平均变化率不同;
当取定值,取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样。
2.如何求函数在一点处的导数
(1)利用导数定义求函数在一点处的导数,通常用“三步法”。
①计算函数的增量:
;
②求平均变化率:
③取极限得导数:
(2)利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。
3.导数的几何意义
①设函数在点的导数是,则表示曲线在点()处的切线的斜率。
②设是位移关于时间的函数,则表示物体在时刻的瞬时速度;
③设是速度关于时间的函数,则表示物体在时刻的加速度;
4.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出在处的导数;
②利用直线方程的点斜式得切线方程为。
类型一:
求函数的平均变化率
1、求在到之间的平均变化率,并求,时平均变化率的值.
思路点拨:
求函数的平均变化率,要紧扣定义式进行操作.
举一反三:
【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2,2+]内的平均变化率。
【变式2】已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3];
(2)[1,2];
(3)[1,1.1];
(4)[1,1.001].
【变式3】自由落体运动的运动方程为,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为m)。
【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线,求出当时割线的斜率.
类型二:
利用定义求导数
2、用导数的定义,求函数在x=1处的导数。
【变式1】已知函数
(1)求函数在x=4处的导数.
(2)求曲线上一点处的切线方程。
【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4)。
3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
思路点拨:
从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值,再由导数的几何意义,得所求切线的斜率,将x=1代入函数可得切点坐标,从而建立切线方程.
【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:
(1)平行于直线y=4x―5;
(2)垂直于直线2x―6y+5=0;
(3)与x轴成135°
的倾斜角。
知识点三:
常见基本函数的导数公式
(1)(C为常数),
(2)(n为有理数),
(3),
(4),
(5),
(6),
(7),
(8),
知识点四:
函数四则运算求导法则
设,均可导
(1)和差的导数:
(2)积的导数:
(3)商的导数:
()
知识点五:
复合函数的求导法则
或
即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
选择中间变量是复合函数求导的关键。
求导时需要记住中间变量,逐层求导,不遗漏。
求导后,要把中间变量转换成自变量的函数。
1.求复合函数的导数的一般步骤
①适当选定中间变量,正确分解复合关系;
②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);
③把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代,熟练以后,可以省略中间过程。
若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。
利用公式及运算法则求导数
1、求下列函数的导数:
(2)
(3);
(4)y=2x3―3x2+5x+4
【变式】求下列函数的导数:
(2)(3)y=6x3―4x2+9x―6
2、求下列各函数的导函数
(2)y=x2sinx;
(3)y=;
(4)y=
【变式1】函数在处的导数等于()
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式2】下列函数的导数
(2)
【变式3】求下列函数的导数.
(2);
(3).
类型四:
复合函数的求导
3、求下列函数导数.
(2);
(4).
【变式1】求下列函数的导数:
(2)
(3)y=ln(x+);
(4)
类型五:
求曲线的切线方程
4、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率,并写出切线方程.
【变式2】已知,是曲线上的两点,则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【变式3】已知曲线.
(1)求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程;
(2)第
(1)小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点?
【变式4】如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程
5、已知直线为曲线在点(1,0)处的切线,为该曲线的另一条切线,且.
(1)求直线的方程;
(2)求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
【变式1】曲线在点(1,1)处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【变式2】曲线在(0,1)处的切线与的距离为,求的方程.
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