初高中数学衔接课程平面几何知识补充文档格式.doc
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∠BAD=∠AEC;
(两线平行,同位角相等)
∠CAD=∠ACE;
(两线平行,内错角相等)
∠BAD=∠CAD;
(已知)
∴
∠AEC=∠ACE;
(等量代换)
AE=AC;
BA/AC=BD/DC。
结论1:
该证法具有普遍的意义。
引出三角形内角平分线定理:
三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
思路2:
利用面积法来证明。
如图8-4乙所示,AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
BA/AC=BD/DC
证明2:
过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F;
DE=DF;
BA/AC=S△BAD/S△DAC;
(等高时,三角形面积之比等于底之比)
BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC;
(同高时,三角形面积之比等于底之比)
结论2:
遇到角平分线,首先要想到往角的两边作平行线,构造等腰三角形或菱形,其次要想到往角的两边作垂线,构造翻转的直角三角形全等,第三,要想到长截短补法。
2)*外角平分线定理
如图所示,AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
作角平分线AD的平行线。
过C作CE∥DA与BA交于E。
BA/AE=BD/DC
∠DAF=∠CEA;
∠DAC=∠ECA;
∠DAF=∠DAC;
∠CEA=∠ECA;
引出三角形外角平分线定理:
如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段,那么这两条线段和相邻的两边应成比例
如图8-5乙所示,AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。
BA/AC=BD/DC.
过D作DE⊥AC于E,DF∥⊥BA的延长线于F;
∠DAC=∠DAF;
BA/AC=S△BAD/△DAC;
(等高时,三角形面积之比等于底之比)
BD/DC=S△BAD/△DAC;
使用面积法时,要善于从不同的角度去看三角形的底和高。
在该证法中,我们看△BAD和△DAC的面积时,先以BA和AC作底,而以DF、DE为等高。
然后以BD和DC为底,而高是同高
3.如图,在△ABC中,AD是角BAC的平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
图3.1-8
2.圆心角与圆周角
圆心角
如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.
(学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题:
如图所示的⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?
为什么?
=,AB=A′B′
理由:
∵半径OA与O′A′重合,且∠AOB=∠A′OB′
∴半径OB与OB′重合
∵点A与点A′重合,点B与点B′重合
∴与重合,弦AB与弦A′B′重合
∴=,AB=A′B′
因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?
请同学们现在动手作一作.
(学生活动)老师点评:
如图1,在⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2,滚动一个圆,使O与O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O′A′重合.
(1)
(2)
你能发现哪些等量关系?
说一说你的理由?
我能发现:
=,AB=A/B/.
现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
1.如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为EF.
(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?
(2)如果OE=OF,那么与的大小有什么关系?
AB与CD的大小有什么关系?
为什么?
∠AOB与∠COD呢?
2.如图3和图4,MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.
(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由.
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?
若成立,加以证明;
若不成立,请说明理由.
(3)(4)
练习题
一、选择题.
1.如果两个圆心角相等,那么()
A.这两个圆心角所对的弦相等;
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D.以上说法都不对
2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是()
A.=2B.>
C.<
2D.不能确定
3.如图5,⊙O中,如果=2,那么().
A.AB=ACB.AB=ACC.AB<
2ACD.AB>
2AC
(5)(6)
二、填空题
1.交通工具上的轮子都是做圆的,这是运用了圆的性质中的_________.
2.一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的_________.
3.如图6,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________.
三、解答题
1.如图,在⊙O中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N在⊙O上.
(1)求证:
=;
(2)若C、D分别为OA、OB中点,则成立吗?
2.如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若∠D=50°
,求的度数和的度数.
3.如图,∠AOB=90°
,C、D是AB三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F,求证:
AE=BF=CD.
圆周角
问题:
如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.
1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?
2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.
老师点评:
1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.
2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.
3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”
(1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=∠AOC
(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=∠AOC吗?
请同学们独立完成这道题的说明过程.
连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.
(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=∠AOC吗?
请同学们独立完成证明.
连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC
现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.
从
(1)、
(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°
的圆周角所对的弦是直径.
1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?
2.如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙O半径为R,求证:
===2R.
一、选择题
1.如图1,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°
,则∠ABC等于().
A.140°
B.110°
C.120°
D.130°
(1)
(2)(3)
2.如图2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是()
A.∠4<
∠1<
∠2<
∠3B.∠4<
∠1=∠3<
∠2
C.∠4<
∠3∠2D.∠4<
∠3=∠2
3.如图3
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