全国高中数学联赛模拟题冲刺Word下载.doc
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a11a12a13a14……a1n
a21a22a23a24……a2n
a31a32a33a34……a3n
a41a42a43a44……a4n
…………………
an1an2an3an4……ann
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知a24=1,
a42=,a43=,求a11+a22+a33+…+ann.(1990年全国高中数学联赛试题)
(二试)
1、(本题40分)如图,已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D,以CD为直径的圆分别交BC,CA于点P、Q,求证:
线段PQ平分△ABC的周长。
(2006浙江集训)
2、(本题40分)将正奇数集合{1,3,5,…}从小到大按第n组有(2n-1)奇数进行分组:
{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…(第1组)(第2组)(第3组)问2011位于第几组中?
3、(本题50分)设有数列,且当时,
求证:
对一切,.
4、(本题50分)一群科学家在一个研究所工作.在某天的8小时工作时间内,每个科学家都至少去过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家,恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值(依赖于).
参考答案
一试
1、解:
方程两边同乘以8,得。
因为,所以要使左边为奇数,只有,即。
则。
要使左边为奇数,只有,即。
从而有 ,即。
故有。
答案为 。
2、解:
在直角坐标系中,作点,,,,。
则
I=
=+++ (应用三角不等式)
+++=2010。
如果取,即,那么I取到最小值2010。
3、个.转化为进制。
∵,故=
,,
中以的数有个
的数有个,的数最大到,有个。
中,故中。
从而,满足要求的数有个。
∵=,不小于小的数有个
满足要求的数有1004-+1=662.
4、设动点与,则,点的轨迹为直线,点的轨迹为双曲线,双曲线上的任一点到直线的距离
,当时等号成立.故的最小值为.
5、224.先找出满足条件的单元素和二元素的集合有:
,,,,将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求,则所有符合条件的集合A中元素的总和是:
.
6、解:
(由题意可知取正号。
)
因此,公差为2的等差数列,即。
从而可得。
7、解:
由题意,。
由此可得
,,以及 。
。
8、
ξ
P
,
9、解:
∵,令,
若即,则,
当时,;
当时,.
若即,则,
当时,.
综上,函数的最大值为2,最小值为.
10.解:
在取定y的情况下,
≥.
其中等号当且仅当时成立.
同样,
其中等号当且仅当z=时成立.所以
=.
其中第二个不等式中等号当且仅当y=号时成立.
故当x=,y=,z=等时,f(x,y,z)取得最小值194+112.
11.设第一行数列公差为d,各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,
所以a44=2a43-a42=2×
-=.又因为a44=a24·
q2=q2,所以q=,于是有
解此方程组,得d=,a11=.
对于任意的1≤k≤n,有
二试
1、证:
如图,连结DB、OP、DQ,因∠ABD+∠ACD,∠EAC=∠ABC+∠ACB,则∠EAC=∠DBC+∠DCB,即:
2∠DAC=∠DBC+∠DCB;
又∠DAC=∠DBC,则:
∠OBC=∠DCB;
故△DBC为等腰三角形,因OP⊥BC,则CP=BC。
在圆内接四边形ABCD中,由托勒密定理得:
AC·
BD=BC·
AD+AB·
CD,因BD=CD,则:
AC-AB=,又DQ⊥AC,则△ADQ∽△BDP,所以,即:
AQ=。
故AC-AB=2AQ,即AQ=。
从而:
CQ+CP=(AC-AQ)+BC=(AC-BC=(AB+BC+CA)。
2、因为1+3+5+…+(2n-1)=n2
所以前n组共含有奇数n2个,第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2-1,第n组第一个数即第n-1组最后一个数后面的奇数为[2(n-1)2-1]+2=2(n-1)2+1.由题意,有不等式
2(n-1)2+1≤1991≤2n2-1.
解得(n-1)2≤995且n2≥996,从而n≤32且n≥32,
故n=32,即1991位于第32组中.
3、证直接写出的前几项,依次为1,2,7,29,22,23,49,26,-17,……,发现它们都不是3的倍数,进而构造关于3的模数列,则呈现明显的规律.因而只要证明:
.
(1)时,结论显然成立;
(2)设上面两式对成立,则
(i)若为偶数,则
若为奇数,则.
即总成立.
(ii)同理可证.
由此可知,对一切,有,故.
本题若取模,则,仍然可证明相同的结论.
4、解析设研究所中有个科学家.表示在第个和第个科学家中恰有一个在咖啡厅的时间.令则另一方面,我们将8小时工作时间分成有限段,,,,使得在每段时间中都没有科学家进出咖啡厅.设在时间段中有个科学家在咖啡厅,则有.
于是有.
如果,则得到,即
如果,则得到,
即
总之都有
下面举例说明上述不等式可以取到等号.
设令.将8小时工作时间等分,每段时间对应个科学家中的个人,不同的时间段对应的人不完全相同.由对称性,对于任意两个科学家,恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和全相等,设为.则有
由此,(等价于).故满足条件.
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