1982年(高考数学试题文理科)Word文件下载.doc
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1.第15项T15=
2.
三.(本题满分9分)
Y
1X
O
Y
1
OX
在平面直角坐标系内,下列方程表示什么曲线?
画出它们的图形。
1.
2.
1.得2x-3y-6=0图形是直线。
2.化为图形是椭圆。
四.(本题满分12分)
已知圆锥体的底面半径为R,高为H。
求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图)。
A
DcH
h
BE
2R
设圆柱体半径为r高为h。
由△ACD∽△AOB得
由此得
圆柱体体积
由题意,H>h>0,利用均值不等式,有
(注:
原“解一”对h求导由驻点解得。
)
五.(本题满分15分)
(要写出比较过程)。
解一:
当>
1时,
解二:
六.(本题满分16分)
A
MP(ρ,θ)
X
O
NB
如图:
已知锐角∠AOB=2α内有动点P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四边形PMON的面积等于常数c2。
今以O为极点,∠AOB的角平分线OX为极轴,求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线。
设P的极点坐标为(ρ,θ)∴∠POM=α-θ,∠NOM=α+θ,
OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),
ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),
四边形PMON的面积
这个方程表示双曲线。
由题意,
动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分。
七.(本题满分16分)
已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图)求证MNPQ是一个矩形。
B
M
R
AN
QD
KS
P
C
证:
连结AC,在△ABC中,
∵AM=MB,CN=NB,∴MN∥AC。
在△ADC中,∵AQ=QD,CP=PD,
∴QP∥AC。
∴MN∥QP。
同理,连结BD可证MQ∥NP。
∴MNPQ是平行四边形。
取AC的中点K,连BK,DK。
∵AB=BC,∴BK⊥AC,
∵AD=DC,∴DK⊥AC。
因此平面BKD与AC垂直。
∵BD在平面BKD内,∴BD⊥AC。
∵MQ∥BD,QP∥AC,∴MQ⊥QP,即∠MQP为直角。
故MNPQ是矩形。
八.(本题满分18分)
Y
x2=2qy
y2=2px
A1
OA2A3X
抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切。
不失一般性,设p>
0,q>
0.又设y2=2px的内接三角形顶点为
A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)
因此y12=2px1,y22=2px2,y32=2px3。
其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1.
依题意,设A1A2,A2A3与抛物线x2=2qy相切,要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切。
因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴,所以原点O不能是所设内接三角形的顶点。
即(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),都不能是(0,0);
又因A1A2与x2=2qy相切,所以A1A2不能与Y轴平行,即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是
同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切,A2A3也不能与Y轴平行,即
x2≠x3,y2≠-y3,同样得到
由
(1)
(2)两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.
由上式及y2≠0,得y3≠-y1,也就是A3A1也不能与Y轴平行。
今将y2=-y1-y3代入
(1)式得:
(3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合,即A3A1与抛物线x2=2qy相切。
所以只要A1A2,A2A3与抛物线x2=2qy相切,则A3A1也与抛物线x2=2qy相切。
九.(附加题,本题满分20分,计入总分)
已知数列和数列其中
1.用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加以证明;
2.求
1.∵1=p,n=pn-1,∴n=pn.
又b1=q,
b2=q1+rb1=q(p+r),
b3=q2+rb2=q(p2+pq+r2),…
设想
用数学归纳法证明:
当n=2时,等式成立;
设当n=k时,等式成立,即
则bk+1=qk+rbk=
即n=k+1时等式也成立。
所以对于一切自然数n≥2,都成立。
一九八二年(文科)
一.(本题满分8分)
二.(本题满分7分)
求(-1+i)20展开式中第15项的数值;
第15项T15=
三.(本题满分7分)
方程
曲线名称
图形
1.
4x2+y2=4
椭圆
y
ox
x-3=0
直线
y
见上图。
四.(本题满分10分)
已知求的值。
三角换元法解亦可。
五.(本题满分10分)
以墙为一边,用篱笆围成长方形的场地,并用平行于一边的篱笆隔开(如图)。
已知篱笆的总长为定值L,这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大?
最大面积是多少?
设长方形场地的宽为x,则长为L-3x,它的面积
当宽时,这块长方形场地的面积最大,这时的长为最大面积为
答:
略。
六.(本题满分12分)
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,
1.用平面A1BC1截去一角后,求剩余部分的体积;
2.求A1B和B1C所成的角。
D1C1
A1B1
DC
AB
D1C1
A1B1
D
C
AB
1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴△A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底,BB1是棱锥的高,△A1B1C1的面积=,
截下部分体积=
剩余部分体积=
2.连结D1C和D1B1,∵,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥D1C,∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角,
∵正方体各面上对角线的长度相等,即D1B1=B1C=D1C,
∴△D1CB1是等边三角形。
∴∠D1CB1=600,
∴A1B与B1C成600的角。
七.(本题满分12分)
已知定点A,B且AB=2,如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1,求点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
选取AB所在直线为横轴,从A到B为正方向,以AB中点O为原点,过O作AB的垂线为纵轴,则A为(-,0),
B为(,0),设P为(x,y)。
因为x2,y2两项的系数相等,且缺xy项,所以轨迹的图形是圆。
八.(本题满分16分)
求的值。
九.(本题满分18分)
O
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