数学物理方法第10章柱函数PPT课件下载推荐.ppt
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即:
则称则称x0为方程的正则奇点。
在正则奇点的邻域内方程两个线为方程的正则奇点。
在正则奇点的邻域内方程两个线性无关的特解为性无关的特解为:
当当当当当当A是否是否为零由方程的形式而定。
零由方程的形式而定。
确定方法:
取取A=0,求出,求出y2(x),若若y1(x)和和y2(x)线性无关,则线性无关,则A=0若若y1(x)和和y2(x)线性相关,则线性相关,则A0二、二、x0的邻域上的邻域上v阶贝塞尔方程的解阶贝塞尔方程的解(v0,1/2,1,3/2)在在x0=0的的邻域上,域上,v阶贝塞塞尔尔方程方程两个线性无关的解为两个线性无关的解为:
称称为阶贝塞塞尔尔函数函数的收的收敛半径半径为R=的收的收敛范范围为三、三、x0=0邻域上的邻域上的m阶塞尔方程的解阶塞尔方程的解(m=0,1,2)在在的邻域上,的邻域上,m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程两个线性无关的解为两个线性无关的解为:
Nm(x)称为称为m阶诺伊曼函数阶诺伊曼函数Jm(x)的收敛半径为的收敛半径为R=Nm(x)的收的收敛范范围为记称为一般情况下的诺伊曼函数称为一般情况下的诺伊曼函数四、在四、在x0=0的邻域上的邻域上(l+1/2)阶贝塞尔方程的阶贝塞尔方程的解解在在的邻域上,的邻域上,:
阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程两个线性无关的解为两个线性无关的解为:
的收的收敛半径半径R=的收的收敛范范围为五、在五、在x0=0的邻域上的邻域上虚宗量虚宗量贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解1.虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程()两个解两个解线性无关的解性无关的解称称为虚宗量虚宗量贝塞塞尔尔函数函数记称称为虚宗量虚宗量汉克克尔尔函数。
函数。
2.虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程()两个两个线性无关的解:
性无关的解:
10.3柱函数柱函数一、柱函数的定义一、柱函数的定义1.柱函数的定义柱函数的定义贝塞尔函数:
贝塞尔函数:
第一类柱函数第一类柱函数诺伊曼函数:
诺伊曼函数:
第二类柱函数第二类柱函数汉克克尔尔函数:
函数:
第三类柱函数第三类柱函数2.贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解两个线性无关的解:
两个线性无关的解:
()两个线性无关的解:
和和,()两个线性无关的解:
,()3.柱函数在柱函数在和和时的行的行为当当时,()当当时,二、贝塞尔函数的递推公式二、贝塞尔函数的递推公式特例:
1.,2.,特例:
3.三、贝塞尔函数的零点本征值问题三、贝塞尔函数的零点本征值问题1.Jm(x)有无限多零点,有无限多零点,Jm(x)的零点正负对称,绝对值相等。
的零点正负对称,绝对值相等。
记记Jm(x)正零点为正零点为xn(m),即:
2.也有无限多零点,也有无限多零点,其零点是其零点是Jm-1(x)=Jm+1(x)的根,的根,3.或曲线或曲线Jm-1(x)x与曲线与曲线Jm+1(x)x的交点。
的交点。
3.贝塞尔函数的本征值问题贝塞尔函数的本征值问题对半径为对半径为0的圆柱内的无源稳定场问题,若有柱侧面齐的圆柱内的无源稳定场问题,若有柱侧面齐次边界条件,则物理量次边界条件,则物理量满足:
满足:
,或,或,或,或令:
令:
,则:
则:
,或,或,或,或若若,满足有限条件的解为满足有限条件的解为由边界条件得:
由边界条件得:
,或,或或或由于虚宗量贝塞尔函数及其导数没有非由于虚宗量贝塞尔函数及其导数没有非零实零点,因此上式边界条件无解。
零实零点,因此上式边界条件无解。
若若,满足有限条件的解足有限条件的解为:
m=0时,第一、三类齐次边界条件得时,第一、三类齐次边界条件得C=0,无意义;
第,无意义;
第二类齐次边界条件自然满足。
二类齐次边界条件自然满足。
m0时,齐次次边界条件化界条件化为,或,或或或,结果均得果均得C=0,无意,无意义。
因此,因此,=0时,仅第二类齐次边界条件在时,仅第二类齐次边界条件在m=0时有非零解时有非零解若若,满足有限条件的解为满足有限条件的解为由边界条件得:
,或,或或或由于贝塞尔函数及其导数有无穷多正零点,因此由于贝塞尔函数及其导数有无穷多正零点,因此只能只能取某些特定值,即本征值,记为取某些特定值,即本征值,记为,相应本征函数为,相应本征函数为:
综上所述,对半径为综上所述,对半径为0的圆柱内的无源稳定场问题,若的圆柱内的无源稳定场问题,若有柱侧面齐次边界条件,则分离变数引进的常数有柱侧面齐次边界条件,则分离变数引进的常数,仅第,仅第二类齐次边界条件允许二类齐次边界条件允许。
的允许值由边界条件的允许值由边界条件确定。
确定。
,或,或或或四、贝塞尔函数的正交关系与模方四、贝塞尔函数的正交关系与模方设设是半径是半径为的圆柱侧面的第一、二、三类齐为的圆柱侧面的第一、二、三类齐次边界条件次边界条件、和和的的n个正根,则:
个正根,则:
称称为m阶贝塞塞尔尔函数的模方。
函数的模方。
对柱侧面第一类齐次边界条件:
对柱侧面第二类齐次边界条件:
对柱侧面第三类齐次边界条件:
五、傅里叶五、傅里叶贝塞尔级数(以贝塞尔函数为贝塞尔级数(以贝塞尔函数为基的广义傅里叶级数)基的广义傅里叶级数)在区间在区间上的函数上的函数,可展开为以贝塞尔函,可展开为以贝塞尔函数数(n=1,2,3)为基的傅里叶)为基的傅里叶贝塞贝塞尔级数。
尔级数。
级数与级数与满足相同的齐次边界条件。
满足相同的齐次边界条件。
例例1:
在区间:
在区间上,以上,以为基,把函数为基,把函数展展开为傅里叶开为傅里叶贝塞尔级数。
其中贝塞尔级数。
其中是是的根。
的根。
解:
是是的根,即的根,即,例例2:
均匀圆柱,半径为:
均匀圆柱,半径为0,高,高L。
柱侧绝热,下底面温度保持。
柱侧绝热,下底面温度保持零度,上底温度分布为零度,上底温度分布为。
求解柱内稳定温度分布。
,得:
得:
由定解条件得知柱内温度分布为轴对称分布,因此:
方程满足有限条件的解为:
由柱侧的边界条件可得由柱侧的边界条件可得。
显然。
显然可满足可满足此条件,当此条件,当时,时,综上,泛定方程满足柱侧齐次边界条件和隐含条件的解为:
综上,泛定方程满足柱侧齐次边界条件和隐含条件的解为:
由上下底面边界条件得:
因此得:
例例3:
边缘固定,半径为:
边缘固定,半径为0的圆形膜,在中心点受到冲量的圆形膜,在中心点受到冲量K用,用,求解冲击后的振动。
求解冲击后的振动。
设冲击时,膜上设冲击时,膜上点单位面积所受冲量为点单位面积所受冲量为,则,则满足:
若单位面积膜的质量为若单位面积膜的质量为,则在冲击前后瞬间的动量满足:
,则在冲击前后瞬间的动量满足:
冲击后,膜振动的定解问题可表示为:
由于定解条件为轴对称问题,因此由于定解条件为轴对称问题,因此在膜中心有限的解为:
在膜中心有限的解为:
因此膜振动问题的解为:
一、虚宗量贝塞尔函数一、虚宗量贝塞尔函数10.4虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程1.定义定义虚宗量贝塞尔函数:
虚宗量贝塞尔函数:
虚宗量汉克尔函数:
2.虚宗量贝塞尔方程的解虚宗量贝塞尔方程的解两个解线性无关的解两个解线性无关的解两个解线性无关的解两个解线性无关的解二、虚宗量贝塞尔函数的性质二、虚宗量贝塞尔函数的性质1.是实函数,没有非零的实零点。
是实函数,没有非零的实零点。
2.例例1:
匀质圆柱,半径:
匀质圆柱,半径,高,高L。
柱侧有均匀分布的。
柱侧有均匀分布的热流进入,其强度为热流进入,其强度为,圆柱上下底面保持为恒定,圆柱上下底面保持为恒定的温度的温度。
以柱轴为以柱轴为z轴,底面为轴,底面为平面,依题意平面,依题意定解问题表示为定解问题表示为用分离变数法求解定解问题,必须上下底、或柱侧面用分离变数法求解定解问题,必须上下底、或柱侧面为齐次边界条件,为此令为齐次边界条件,为此令,则定解转化为,则定解转化为令令,代入泛定方程分离变,代入泛定方程分离变数得数得因因的定解条件与的定解条件与无关,是轴对称定解问无关,是轴对称定解问题,所以题,所以常数,常数,。
由上下底面齐次边界条。
由上下底面齐次边界条件件,该条件与,该条件与的微分方程构成本的微分方程构成本征值问题,其解为征值问题,其解为当、时,时,满足柱轴有限的解为满足柱轴有限的解为,因此由柱侧面的边界条件得由柱侧面的边界条件得例例2(选讲):
如图(选讲):
如图10.1所示,半径所示,半径,高,高L的导的导体圆柱筒,筒的上下底与无限大的导体平面连接,体圆柱筒,筒的上下底与无限大的导体平面连接,用不导电的介质膜将圆柱筒与上下导体平面隔开。
用不导电的介质膜将圆柱筒与上下导体平面隔开。
柱壳侧面电势为柱壳侧面电势为,上底平面电势为,上底平面电势为,下底,下底平面接地。
求二平面与柱筒外空间区域静电场的电平面接地。
求二平面与柱筒外空间区域静电场的电势分布。
势分布。
以柱轴为以柱轴为z轴,底面为轴,底面为平面,依题意平面,依题意定解问题表示为定解问题表示为用分离变数法求解定解问用分离变数法求解定解问题,必须上下底、或柱侧题,必须上下底、或柱侧面为齐次边界条件,为此面为齐次边界条件,为此令令由于在柱坐标系中由于在柱坐标系中含含,因此,因此z的一次函数的一次函数的调和量为零,这样定解转化为的调和量为零,这样定解转化为令令,代入泛定方程分离,代入泛定方程分离变数得变数得因因的定解条件与的定解条件与无关,是轴对称定解问无关,是轴对称定解问题,所以题,所以常数,常数,。
由上下底面齐次边界条件件,该条件与,该条件与的微分方程构成本的微分方程构成本征值问题,其解为征值问题,其解为当当、时,时,的解为的解为因为当因为当时,时,、,所,所以满足以满足“有限有限”的解为的解为,这,这样样由柱侧面的边界条件得由柱侧面的边界条件得一、球坐标系波动、输运方程的分离变数一、球坐标系波动、输运方程的分离变数10.5球贝塞尔方程球贝塞尔方程回顾:
分离变量回顾:
分离变量1.波动方程时空变量的分离波动方程时空变量的分离自由波动方程有意义的解是振荡解,要求自由波动方程有意义的解是振荡解,要求满足的方程称为亥姆霍兹方程满足的方程称为亥姆霍兹方程
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- 数学 物理 方法 10 函数