电子科大图论课件——第9章PPT文件格式下载.ppt

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有向图有向图D的的基础图：

基础图：

将将D中每条有向边中每条有向边u,v改为边改为边uv，所得的无向图。

所得的无向图。

例例下下图中，前两个中，前两个为有向有向图，它，它们都是后一个的定向都是后一个的定向图。

3定义定义2设设v是有向图是有向图D的一个顶点，称的一个顶点，称D中以中以v为始（终）点为始（终）点的边的数目为的边的数目为v的的出（入）度出（入）度，记为，记为d+（v）（d-（v）），称），称v的出度与入度之和为的出度与入度之和为v的的度度，记为，记为d（v）。

例例1对右图所示有向图，有对右图所示有向图，有d+（a）=1，d-（a）=2d（a）=3，d+（b）=1d-（b）=2，d（b）=3ab定理定理1设设D=（V,E）是一个有向图，则有）是一个有向图，则有4证证任任取取D中中一一条条有有向向边边u,v，在在计计算算D中中各各点点的的出出度度时时，此此边边仅仅在在d+（u）中中被被计计算算一一次次。

换换言言之之，D中中各各边边在在计计算算各各点点的的出出度度之之和和时时恰恰被被计计算算一一次次，所所以以各各顶顶点点出出度度之和等于边数。

之和等于边数。

同理，各顶点入度之和也等于边数，从而等式成立。

若若n条有向条有向边的起点和的起点和终点均相同，点均相同，则这n条条边称称为n重边重边，n称称为这些些边的的重数重数。

重数大于。

重数大于1的的边也称也称为重边重边，重数等于重数等于1的的边也称也称为单边单边。

既无。

既无环又无重又无重边的有向的有向图称称为简单有向图简单有向图。

5定义定义3设设D=（V,E）是一个标定有向图，）是一个标定有向图，其中设其中设V=v1,v2,vn，E=e1,e2,em。

（1）称矩阵称矩阵A（D）=（aij）nn为为D的邻接矩阵，其中的邻接矩阵，其中aij是是以以vi作为始点作为始点vj作为终点的边的数目，作为终点的边的数目，1in,1jn。

（2）若若D无无环，称矩，称矩阵M（D）=（mij）nm为D的关的关联矩矩阵，其中其中，1in,1jm。

6例例2对所示的两个有向图对所示的两个有向图D1和和D2，有，有v2v1v3v4v2e1v1e2e3e4v3e5v4D1D2邻接矩接矩阵A（D）的所有元素之和等于的所有元素之和等于边数；

关数；

关联矩矩阵每一列恰有一个每一列恰有一个“1”和一个和一个“-1”，第，第i行的行的1的个数等于的个数等于d+（vi），-1的个数等于的个数等于d-（vi）。

7二、二、有向图的连通性有向图的连通性有有向向途途径径：

指指一一个个有有限限非非空空点点边交交替替序序列列=v0e1v1e2ekvk，使使得得对1ik，边ei的的始始点点为vi-1，终点点为vi。

顶点点v0与与vk分分别称称为的的起起点点与与终点点，k称称为的的长。

不不误解解时也可用点序列表示有向途径。

也可用点序列表示有向途径。

有向迹有向迹：

边不相同的途径；

不相同的途径；

有有向向路路、有有向向闭途途径径（也也称称有有向向回回路路）和和有有向向圈圈等等概概念念可仿照路、可仿照路、闭迹、圈的定迹、圈的定义类似地似地给出。

出。

1.5中的定理中的定理10对有向有向图仍适用，即若仍适用，即若A为标定有向定有向图D中的中的邻接矩接矩阵，则An的第的第i行第行第j列的元素列的元素为D中从中从vi到到vj的的长为n的有向途径数目。

的有向途径数目。

8定义定义4设设u和和v为有向图为有向图D中的两个顶点，若中的两个顶点，若D中存在有向中存在有向（u,v）路，则称在）路，则称在D中中u可达可达v，记为，记为uv，规定，规定uu。

说明明

（1）“可达可达”作作为有向有向图的的顶点集合点集合V上的关系，具上的关系，具有自反性和有自反性和传递性，但不能保性，但不能保证有有对称性，因此它不是称性，因此它不是V上的等价关系。

上的等价关系。

（2）若若uv，并且，并且vu，则称称u和和v可互达，可互达，记为uv。

易知关系。

易知关系“”是是D（V）上的一个等价关系。

上的一个等价关系。

定义定义5设设D=（V,E）为一个有向图，）为一个有向图，1.若对若对u,vV，u与与v可互达，则称可互达，则称D是强连通的。

是强连通的。

2.若若对u,vV，或，或uv，或，或vu，则称称D是是单向向连通的。

通的。

9关系关系:

强连通一定单向连通，单向连通一定弱连通。

D1，D2和和D33.若若D的基的基础图是是连通的，通的，则称称D是弱是弱连通的，弱通的，弱连通通简称称连通。

通。

强连通图强连通图:

单向向连通通图:

弱弱连通通图:

D1D2D3例例3D1D1，D210必要性必要性设设V=v1,v2,vn。

因。

因D是强连通的，故是强连通的，故D中任中任意两点均可互达。

于是，由意两点均可互达。

于是，由v1v2可知可知D中存在从中存在从v1到到v2的有向途径的有向途径1，由，由v2v3可知可知D中存在从中存在从v2到到v3的有向途的有向途径径2,，由，由vnv1可知可知D中存在从中存在从vn到到v1的有向途径的有向途径n。

这样这样1，2，n首尾相连便构成了首尾相连便构成了D中一条含所有顶中一条含所有顶点的有向回路。

点的有向回路。

定理定理2有向图有向图D=（V,E）是强连通的，当且仅当）是强连通的，当且仅当D中存中存在含有所有顶点的有向回路。

在含有所有顶点的有向回路。

证明证明充分性充分性设设C是是D中含所有顶点的有向回路。

中含所有顶点的有向回路。

对对u,vV，因，因C含含D中所有点，故中所有点，故u和和v也在也在C中，从而中，从而u和和v沿沿C便可互达。

这表明便可互达。

这表明D是强连通的。

11例例4561234所示的图是强连通的。

所示的图是强连通的。

这是因该图存在含有所有顶点这是因该图存在含有所有顶点的有向回路：

的有向回路：

12465135112三三.图的定向问题图的定向问题一个城市的交通图可模型化为一个图，街道一个城市的交通图可模型化为一个图，街道作为边，路口作为点。

为使交通顺畅，往往一作为边，路口作为点。

为使交通顺畅，往往一些街道被规定为机动车单向行驰，即所谓单行些街道被规定为机动车单向行驰，即所谓单行道。

那么如何设置单行道才能保证对城内的任道。

那么如何设置单行道才能保证对城内的任意两个地点意两个地点A和和B，既能从，既能从A可到达可到达B，又能从，又能从B可到达可到达A。

这个问题实际上是图的定向问题。

即。

即如何给图如何给图G的边指定一个方向，使其成为具有强的边指定一个方向，使其成为具有强连通性的有向图。

也即求连通性的有向图。

也即求G的一个具有强连通性的一个具有强连通性的定向图。

的定向图。

13在一个在一个计算机系算机系统中，若用点表示中，若用点表示资源，源，边表示通表示通讯线，则该系系统构成了一个构成了一个图G。

若一程序。

若一程序P1占有占有资源源s1，而，而对s2提出申提出申请。

可将。

可将边s1s2定向定向为从从s1指向指向s2的有向的有向边，并同，并同时对该边赋以以P1。

所以在任意一瞬。

所以在任意一瞬时计算机算机资源的状源的状态图，都是，都是G的定向的定向图D。

D的的强强连通子通子图反映一反映一种死种死琐现象。

最象。

最简单的死的死锁现象的一个例子如程序象的一个例子如程序P1占占有有s1，而，而对s2提出申提出申请，P2占有占有s2，而，而对s3提出申提出申请，而，而P3占有占有s3，又，又对s1提出要求，提出要求，结果只能互相等待。

死果只能互相等待。

死锁现象是操作系象是操作系统应尽量避免的。

尽量避免的。

14注注:

不是所有的不是所有的图都存在都存在强强连通定向通定向图，如下，如下图是一个有是一个有割割边的的图，很明，很明显，该图不存在不存在强强连通定向通定向图。

定理定理5若若G是是2边连通的，则边连通的，则G存在强连通定向图。

存在强连通定向图。

求图求图G的强连通定向图可由算法解决，其中的一个算法是的强连通定向图可由算法解决，其中的一个算法是由由Hopcroft-Tarjan提出的。

提出的。

159.2有向树有向树定义定义1若有向图若有向图D的基础图是树，则称的基础图是树，则称D为有向树。

为有向树。

一一.有向树、根树有向树、根树（a）（b）（c）agfebcd例例16定义定义2恰有一个顶点的入度为恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为，其余顶点的入度均为1的非平凡有向树称为的非平凡有向树称为根树根树。

根树中入度为。

根树中入度为0的顶点称为的顶点称为树根树根，出度为，出度为0的顶点称为的顶点称为树叶树叶，其于点称为内点，内，其于点称为内点，内点和根统称为点和根统称为分支点分支点。

习惯上我上我们把根把根树的根画在最上方，并使有向的根画在最上方，并使有向边的的方向均指向下方，方向均指向下方，对这种种“标准准”画法，有向画法，有向边的箭的箭头还可省去。

可省去。

bceagdf标准画法标准画法agfebcd例例1根树中，从根到顶点根树中，从根到顶点v的距离称为的距离称为v的的层数层数，所有顶点的最大层数，所有顶点的最大层数称为该树的称为该树的高高。

17定义定义3根树中，若点根树中，若点uv且且uv，则称，则称u为为v的祖先，的祖先，v为为u的后代；

若的后代；

若u,v是根树中的有向边，则称是根树中的有向边，则称u为为v的父亲，的父亲，v为为u的儿子；

若某的儿子；

若某n个顶点是同一个父亲的儿子，则这个顶点是同一个父亲的儿子，则这n个个顶点称为兄弟。

顶点称为兄弟。

二二m元树元树定定义义5根根树树T中中，若若每每个个分分支支点点至至多多m个个儿儿子子，则则称称T为为m元元树；

若每个分支点恰有树；

若每个分支点恰有m个儿子，则称个儿子，则称T为为m元完全树。

元完全树。

例如右例如右图中（中（a）和）和（b）均）均为三元三元树，其，其（b）为三元完全三元完全树。

（a）（b）18定理定理6设设m元完全树元完全树T的树叶数为的树叶数为t，分支点数为，分支点数为i，则下式，则下式成立成立（m-1）i=t-1（2.1）证证明明由由假假设设，T有有t+i个个顶顶点点。

再再由由树树中中点点数数与与边边数数的的关关系系知，知，T有有t+i-1条边。

条边。

因因m元元完完全全树树的的每每个个分分支支点点的的出出度度均均为为m，叶叶的的出出度度为为零零，从从而而T的的所所有有顶顶点点的的出出度度之之和和为为mi。

再再由由有有向向图图中中所所有有顶顶点的出度之和等于边数可得点的出度之和等于边数可得mi=t+i-1（m-1）i=t-119例例2假