二元一次方程组的相关概念(基础)知识讲解文档格式.doc
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(1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的一组解.
(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值,一般用大括号联立起来,如:
.
(2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,即有无数多对数适合这个二元一次方程.
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数,例如也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
(1)二元一次方程组的解是一组数对,它必须同时满足方程组中的每一个方程,一般写成的形式.
(2)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,如方程组无解,而方程组的解有无数个.
【典型例题】
类型一、二元一次方程
1.已知下列方程,其中是二元一次方程的有________.
(1)2x-5=y;
(2)x-1=4;
(3)xy=3;
(4)x+y=6;
(5)2x-4y=7;
(6);
(7);
(8);
(9);
(10).
【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验.
【答案】
(1)(4)(5)(8)(10)
【解析】只有
(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念.
(2)为一元一次方程,方程中只含有一个未知数;
(3)中含未知数的项的次数为2;
(6)只含有一个未知数;
(7)不是整式方程;
(9)中未知数x的次数为2.
【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义,对于比较复杂的方程,可以先化简,再根据定义进行判断.
举一反三:
【变式】下列方程中,属于二元一次方程的有()
A.B.C.D.
【答案】B
类型二、二元一次方程的解
2.二元一次方程x-2y=1有无数多个解,下列四组值中不是该方程解的是()
A.B.C.D.
【解析】
解:
当x=0,y=时,x-2y=1,故A是原方程的解.
当x=1,y=1时,x-2y=-1,故B不是原方程的解.
当x=1,y=0时,x-2y=1,故C是原方程的解.
当x=-1,y=-1时,x-2y=1,故D是原方程的解.
【总结升华】判断一组数值是否是原方程的解,只需要将这组数值代入原方程,能使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的解,否则,不是.
【变式】若方程的一个解是,则a=.
【答案】3
3.已知二元一次方程.
(1)用含有x的代数式表示y;
(2)用含有y的代数式表示x;
(3)用适当的数填空,使是方程的解.
【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,就是把要表示的未知数当未知数,把其他的未知数当已知数,然后再将方程变形.
【答案与解析】
(1)将方程变形为3y=2,化y的系数为1,得.
(2)将方程变形为,化x的系数为1,得.
(3)把x=-2代入得,y=1.
【总结升华】用含x的代数式表示y,其实质表示为“y=含x的代数式”的形式.在进行方程的变形过程中,有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要.
【变式】已知:
2x+3y=7,用关于y的代数式表示x,用关于x的代数式表示y.
(1)2x=7-3y,;
(2)3y=7-2x,
类型三、二元一次方程组及方程组的解
4.下列方程组中,是二元一次方程组的是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A,B中未知数的次数高于或低于一次,而C中出现三个未知数,只有D选项满足题意,故正确答案为D.
【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数;
2、未知数的项最高次数都应是一次;
3、都是整式方程”.
5.判断下列各组数是否是二元一次方程组的解.
(1)
(2)
(1)把代入方程①中,左边=2,右边=2,所以是方程①的解.
把x=3,y=-5代入方程②中,左边=,右边=,左边≠右边,所以不是方程②的解.
所以不是方程组的解.
(2)把代入方程①中,左边=-6,右边=2,所以左边≠右边,所以不是方程①的解,
再把代入方程②中,左边=x+y=-1,右边=-1,左边=右边,所以是方程②的解,但由于它不是方程①的解,所以它也不是方程组的解.
【总结升华】检验是否是方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
【变式】写出解为的二元一次方程组.
此题答案不唯一,可先任构造两个以为解的二元一次方程,然后将它们用“{”联立即可,现举一例:
∵x=1,y=-2,
∴x+y=1-2=-1.
2x-5y=2×
1-5×
(-2)=12.
∴就是所求的一个二元一次方程组.
注:
任选的两个方程,只要其对应系数不成比例,联立起来即为所求.
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