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大物必背题
第一章 质点运动学
1-1 质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为r,速度为v,速率为v,t至(t+Δt)时间内的位移为Δr,路程为Δs,位矢大小的变化量为Δr(或称Δ|r|),平均速度为,平均速率为.
(1)根据上述情况,则必有( )
(A)|Δr|=Δs=Δr
(B)|Δr|≠Δs≠Δr,当Δt→0时有|dr|=ds≠dr
(C)|Δr|≠Δr≠Δs,当Δt→0时有|dr|=dr≠ds
(D)|Δr|≠Δs≠Δr,当Δt→0时有|dr|=dr=ds
(2)根据上述情况,则必有( )
(A)||=,||= (B)||≠,||≠
(C)||=,||≠(D)||≠,||=
分析与解
(1)质点在t至(t+Δt)时间内沿曲线从P点运动到P′点,各量关系如图所示,其中路程Δs=PP′,位移大小|Δr|=PP′,而Δr=|r|-|r|表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注:
在直线运动中有相等的可能).但当Δt→0时,点P′无限趋近P点,则有|dr|=ds,但却不等于dr.故选(B).
(2)由于|Δr|≠Δs,故,即||≠.
但由于|dr|=ds,故,即||=.由此可见,应选(C).
1-2 一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
(1);
(2); (3); (4).
下述判断正确的是( )
(A)只有
(1)
(2)正确 (B)只有
(2)正确
(C)只有
(2)(3)正确(D)只有(3)(4)正确
分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;表示速度矢量;在自然坐标系中速度大小可用公式计算,在直角坐标系中则可由公式求解.故选(D).
1-3 质点作曲线运动,r表示位置矢量,v表示速度,a表示加速度,s表示路程,at表示切向加速度.对下列表达式,即
(1)dv/dt=a;
(2)dr/dt=v;(3)ds/dt=v;(4)dv/dt|=at.
下述判断正确的是( )
(A)只有
(1)、(4)是对的(B)只有
(2)、(4)是对的
(C)只有
(2)是对的(D)只有(3)是对的
分析与解 表示切向加速度at,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用;在极坐标系中表示径向速率vr(如题1-2所述);在自然坐标系中表示质点的速率v;而表示加速度的大小而不是切向加速度at.因此只有(3)式表达是正确的.故选(D).
1-4 一个质点在做圆周运动时,则有( )
(A)切向加速度一定改变,法向加速度也改变
(B)切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
(C)切向加速度可能不变,法向加速度不变
(D)切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解 加速度的切向分量at起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用.质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于at是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时,at恒为零;质点作匀变速率圆周运动时,at为一不为零的恒量,当at改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(B).
1-9 质点的运动方程为
式中x,y的单位为m,t的单位为s.
试求:
(1)初速度的大小和方向;
(2)加速度的大小和方向.
分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.
解
(1)速度的分量式为
当t=0时,vox=-10m·s-1,voy=15m·s-1,则初速度大小为
设vo与x轴的夹角为α,则
α=123°41′
(2)加速度的分量式为
则加速度的大小为
设a与x轴的夹角为β,则
β=-33°41′(或326°19′)
1-14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a=A-Bv,式中A、B为正恒量,求石子下落的速度和运动方程.
分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv=a(v)dt分离变量为后再两边积分.
解 选取石子下落方向为y轴正向,下落起点为坐标原点.
(1)由题意知
(1)
用分离变量法把式
(1)改写为
(2)
将式
(2)两边积分并考虑初始条件,有
得石子速度
由此可知当,t→∞时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度.
(2)再由并考虑初始条件有
得石子运动方程
第二章 牛顿定律
2-1 如图(a)所示,质量为m的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )
(A)gsinθ (B)gcosθ (C)gtanθ (D)gcotθ
分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FT(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mgcotθ,故选(D).求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征.
2-2 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止.当FN逐渐增大时,物体所受的静摩擦力Ff的大小( )
(A)不为零,但保持不变
(B)随FN成正比地增大
(C)开始随FN增大,达到某一最大值后,就保持不变
(D)无法确定
分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值.当FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态.由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A).
2-3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )
(A)不得小于 (B)必须等于
(C)不得大于(D)还应由汽车的质量m决定
分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN.由此可算得汽车转弯的最大速率应为v=μRg.因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑.应选(C).
2-13 一质点沿x轴运动,其受力如图所示,设t=0时,v0=5m·s-1,x0=2m,质点质量m=1kg,试求该质点7s末的速度和位置坐标.
分析 首先应由题图求得两个时间段的F(t)函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应.
解 由题图得
由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为
对0<t<5s时间段,由得
积分后得
再由得
积分后得
将t=5s代入,得v5=30m·s-1和x5=68.7m
对5s<t<7s时间段,用同样方法有
得
再由
得
x=17.5t2-0.83t3-82.5t+147.87
将t=7s代入分别得v7=40m·s-1和 x7=142m
2-22 质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm.试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程.
分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k.由于阻力Fr=kv2,且Fr又与恒力F的方向相反;故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大.因此,根据速度最大值可求出阻力系数来.但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换.
解 设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有
(1)
当加速度a=dv/dt=0时,摩托车的速率最大,因此可得
k=F/vm2
(2)
由式
(1)和式
(2)可得
(3)
根据始末条件对式(3)积分,有
则
又因式(3)中,再利用始末条件对式(3)积分,有
则
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3-1 对质点组有以下几种说法:
(1)质点组总动量的改变与内力无关;
(2)质点组总动能的改变与内力无关;
(3)质点组机械能的改变与保守内力无关.
下列对上述说法判断正确的是( )
(A)只有
(1)是正确的 (B)
(1)、
(2)是正确的
(C)
(1)、(3)是正确的(D)
(2)、(3)是正确的
分析与解 在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力.由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量.但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能.综上所述
(1)(3)说法是正确的.故选(C).
3-2 有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则( )
(A)物块到达斜面底端时的动量相等
(B)物块到达斜面底端时动能相等
(C)物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒
(D)物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒
分析与解 对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒.物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功.由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等.动量自然也就不等(动量方向也不同).故(A)(B)(C)三种说法均不正确.至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零.由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒.
3-3 对功的概念有以下几种说法:
(1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加;
(2)质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零;
(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零.
下列上述说法中判断正确的是( )
(A)
(1)、
(2)是正确的 (B)
(2)、(3)是正确的
(C)只有
(2)是正确的(D)只有(3)是正确的
分析与解 保守力作正功时,系统内相应势能应该减少.由于保守力作功与路径无关,而只与始末位置有关,如质点环绕一周过程中,保守力在一段过程中作正功,在另一段过程中必然作负功,两者之和必为零.至于一对作用力与反作用力分别作用于两个质点所作功之和未必为零(详见习题3-2分析),由此可见只有说法
(2)正确,故选(C).
3-4 如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A和
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