高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理Word下载.docx
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在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,若,那么直线CD、AE、BF三线共点证明:
设直线AE与直线BF交于点P,直线CP交AB于点D/,则据塞瓦定理有因为,所以有由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线注:
利用唯一性,采用同一法,用上塞瓦定理使命题顺利获证二、梅涅劳斯定理3梅涅劳斯定理及其证明定理:
一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F,且D、E、F均不是ABC的顶点,则有证明:
如图,过点C作AB的平行线,交EF于点G因为CG/AB,所以
(1)因为CG/AB,所以
(2)由
(1)
(2)可得,即得注:
添加的辅助线CG是证明的关键“桥梁”,两次运用相似比得出两个比例等式,再拆去“桥梁”(CG)使得命题顺利获证4梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理:
在ABC的边AB、BC上各有一点D、E,在边AC的延长线上有一点F,若,那么,D、E、F三点共线证明:
设直线EF交AB于点D/,则据梅涅劳斯定理有因为,所以有由于点D、D/都在线段AB上,所以点D与D/重合即得D、E、F三点共线注:
证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙,注意分析其相似后面的规律三、托勒密定理5托勒密定理及其证明定理:
凸四边形ABCD是某圆的内接四边形,则有ABCD+BCAD=ACBD证明:
设点M是对角线AC与BD的交点,在线段BD上找一点,使得DAE=BAM因为ADB=ACB,即ADE=ACB,所以ADEACB,即得,即
(1)由于DAE=BAM,所以DAM=BAE,即DAC=BAE。
而ABD=ACD,即ABE=ACD,所以ABEACD即得,即
(2)由
(1)+
(2)得所以ABCD+BCAD=ACBD注:
巧妙构造三角形,运用三角形之间的相似推得结论这里的构造具有特点,不容易想到,需要认真分析题目并不断尝试6托勒密定理的逆定理及其证明定理:
如果凸四边形ABCD满足ABCD+BCAD=ACBD,那么A、B、C、D四点共圆证法1(同一法):
在凸四边形ABCD内取一点E,使得,则可得ABCD=BEAC
(1)且
(2)则由及
(2)可得于是有ADBC=DEAC(3)由
(1)+(3)可得ABCD+BCAD=AC(BE+DE)据条件可得BD=BE+DE,则点E在线段BD上则由,得,这说明A、B、C、D四点共圆证法2(构造转移法)延长DA到A/,延长DB到B/,使A、B、B/、A/四点共圆延长DC到C/,使得B、C、C/、B/四点共圆(如果能证明A/、B/、C/共线,则命题获证)那么,据圆幂定理知A、C、C/、A/四点也共圆因此,可得.另一方面,即欲证=,即证即据条件有,所以需证,即证,这是显然的所以,即A/、B/、C/共线所以与互补由于,所以与互补,即A、B、C、D四点共圆7托勒密定理的推广及其证明定理:
如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上,那么就有ABCD+BCADACBD证明:
如图,在凸四边形ABCD内取一点E,使得,则可得ABCD=BEAC
(1)且
(2)则由及
(2)可得于是ADBC=DEAC(3)由
(1)+(3)可得ABCD+BCAD=AC(BE+DE)因为A、B、C、D四点不共圆,据托勒密定理的逆定理可知ABCD+BCADACBD所以BE+DEBD,即得点E不在线段BD上,则据三角形的性质有BE+DEBD所以ABCD+BCADACBD四、西姆松定理8西姆松定理及其证明定理:
从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线,垂足分别为D、E、F,则D、E、F三点共线证明:
如图示,连接PC,连接EF交BC于点D/,连接PD/因为PEAE,PFAF,所以A、F、P、E四点共圆,可得FAE=FEP因为A、B、P、C四点共圆,所以BAC=BCP,即FAE=BCP所以,FEP=BCP,即D/EP=D/CP,可得C、D/、P、E四点共圆所以,CD/P+CEP=1800。
而CEP=900,所以CD/P=900,即PD/BC由于过点P作BC的垂线,垂足只有一个,所以点D与D/重合,即得D、E、F三点共线注:
(1)采用同一法证明可以变被动为主动,以便充分地调用题设条件但需注意运用同一法证明时的唯一性
(2)反复运用四点共圆的性质是解决此题的关键,要掌握好四点共圆的运用手法五、欧拉定理9欧拉定理及其证明定理:
设ABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示则有G、O、H三点共线(欧拉线),且满足证明(向量法):
连BO并延长交圆O于点D。
连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC则因为CDBC,AHBC,所以AH/CD同理CH/DA所以,AHCD为平行四边形从而得而,所以因为,所以由得:
另一方面,而,所以由得:
结论得证注:
(1)运用向量法证明几何问题也是一种常用方法,而且有其独特之处,注意掌握向量对几何问题的表现手法;
(2)此题也可用纯几何法给予证明又证(几何法):
连接OH,AE,两线段相交于点G/;
连BO并延长交圆O于点D;
连接CD、AD、HC,设E为边BC的中点,连接OE和OC,如图因为CDBC,AHBC,所以AH/CD同理CH/DA所以,AHCD为平行四边形可得AH=CD而CD=2OE,所以AH=2OE因为AH/CD,CD/OE,所以AH/OE可得AHG/EOG/所以由,及重心性质可知点G/就是ABC的重心,即G/与点G重合所以,G、O、H三点共线,且满足六、蝴蝶定理10蝴蝶定理及其证明定理:
如图,过圆中弦AB的中点M任引两弦CD和EF,连接CF和ED,分别交AB于P、Q,则PM=MQ证明:
过点M作直线AB的垂线l,作直线CF关于直线l的对称直线交圆于点C/、F/,交线段AB于点Q/连接FF/、DF/、Q/F/、DQ/据圆的性质和图形的对称性可知:
MF/Q/=MFP,F/Q/M=FPM;
且FF/AB,PM=MQ/因为C、D、F/、F四点共圆,所以CDF/+CFF/=1800,而由FF/AB可得Q/PF+CFF/=1800,所以CDF/=Q/PF,即MDF/=Q/PF又因为Q/PF=PQ/F/,即Q/PF=MQ/F/所以有MDF/=MQ/F/这说明Q/、D、F/、M四点共圆,即得MF/Q/=Q/DM因为MF/Q/=MFP,所以MFP=Q/DM而MFP=EDM,所以EDM=Q/DM这说明点Q与点Q/重合,即得PM=MQ此定理还可用解析法来证明:
想法:
设法证明直线DE和CF在x轴上的截距互为相反数证:
以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,M点是坐标原点设直线DE、CF的方程分别为x=m1y+n1,x=m2y+n2;
直线CD、EF的方程分别为y=k1x,y=k2x则经过C、D、E、F四点的曲线系方程为(yk1x)(yk2x)+(xm1yn1)(xm2yn2)=0整理得(+k1k2)x2+(1+m1m2)y2(k1+k2)+(m1+m2)xy(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0由于C、D、E、F四点在一个圆上,说明上面方程表示的是一个圆,所以必须+k1k2=1+m1m20,且(k1+k2)+(m1+m2)=0若=0,则k1k2=1,k1+k2=0,这是不可能的,故0;
又y轴是弦AB的垂直平分线,则圆心应落在y轴上,故有(n1+n2)=0,从而得n1+n2=0这说明直线DE、CF在x轴上的截距互为相反数,即得PM=MQ
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- 高中数学 竞赛 平面几何 中的 几个 重要 定理