传染病的传播及控制分析数学建模Word格式.docx
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控制前,患者人数呈指数增长趋势;
控制后,在p二04时,患者人数大致在7天时到达最大值,在25天时基本没有患者;
在p二0.3时,患者人数大概在第8天到达最大值186383,大概在28天之后基本没有患者;
在p二0.6时,大概在第5天患者人数到达峰值为47391,在21天时基本没有患者。
综上分析,对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。
针对所得结果,对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词:
隔离强度潜伏期SEIR模型
、问题重述:
2013年中,H7N9是网上的热点,尤其是其高致死率,引起了人们的恐慌,最近又有研究显示,H7N9有变异的可能。
假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为a:
a天,患病者的治愈时间为a天,假设该病毒可以通过人与人之间的直接接
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触进行传播,患者每天接触的人数为r,因接触被感染的概率为九(入为感染率)。
为了控制疾病的传播与扩散,将人群分成五类,患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。
潜伏期内的患者被隔离的强度为P(为潜伏期内患者被隔离的百分数)。
在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型,利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线,增强或者减弱疑似患者的隔离强度,比较患者人数发生的变化,并分析结果的合理性。
最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。
二、问题假设:
1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例;
2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例;
3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例;
4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒,有很强的免疫能力,即被移除出此传染系统;
5、假设正常人被传染后,进入一段时间的潜伏期,处于潜伏期的人群不会表现症状,不可传染健康人,不具有传染性;
6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗,被视为无法跟别人接触,故不会传染健康人;
7、假设实际治愈周期过后,如果患者没有治愈,则认为患者死亡,即实际治愈周期过后,患者都被移出此感染系统;
&
假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生,死亡,流动等种群动力因素对总人数的影响。
即:
总人口数不变,记为N;
三、符号说明:
符号
解释说明
S(t)
t时刻正常人(易受感染)人数
E(t)
t时刻疑似患者的人数
Q(t)
t时刻处于潜伏期的人数
I(t)
t时刻确诊患者的人数
R(t)
t时刻退出传染系统的人数(包括治愈者和死亡者)
n
潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期
人数的比例
02
每日退出传染系统的人数比例
确诊患者的治愈时间
r
患者的人均日接触人数
因接触被感染的概率
P
潜伏期内的患者被隔离的强度
四、问题分析:
根据题意,这是一个传染性病毒随着时间演变的过程,需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化,特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化,预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度,从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。
我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型,查阅相关资料可知,关于传染病的模型已有不少,其中以微分方程模型最具代表性,因题目中把人群分为五类:
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人,所以我们采用微分方程中的SIER模型,将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。
在此基础上,我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程,得出模型。
再利用matlab编程画出图形,改变其隔离强度后重新作图进行比较,对结果进行分析,并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。
五、模型的建立和求解:
5.1传染病模型的准备
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识,因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是按一般的传播机理建立模型。
查阅相关资料可知,目前关于传染病的模型已有不少,其中以微分方程建立的模型比较具有代表性,模型复杂程度有区别,故适合的情形也不同,包括I模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等⑵。
I模型是最简单的模型,从已感染人数和有效接触率出发构建模型,但未区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),结果发现,随着时间增加,病人人数会无限增长,这显然不符合实际;
SI模型是I模型的改进模型,它区分了已感染者和未感染者,但是该模型没有考虑到病人可以治愈,导致人群中的健康者只能变成病人,病人不能变成健康者,这也是不符合实际的;
在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下,SIR模型对SI模型进行了改进,即增加了移除者(包括死亡者和治愈者),但在实际情况下,传染病会出现疑似患者,故需要考虑隔离的情况。
SEIR模型妙⑷对SIR模型进行了改进,增加了疑似患者,考虑到了隔离强度,故我们选择SEIR模型进行此次建模。
根据题目所给的条件,人群分为五类:
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。
根据SEIR模型重新归类,得到以下结果:
(1)健康人群,即易感染(Susceptibles)人群。
记其数量为S(t),表示t时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数;
(2)确诊患者,即被感染(Infection)该疾病的人群,记其数量为I(t),表示t时刻已经确诊为患者入院的人数;
(3)疑似病患,即被入院隔离的人群,包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者,记其数量为E(t),表示t时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数;
(4)潜伏期感染者,即已感染病毒但处于潜伏期的人群,记起数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。
(5)恢复人群(Recovered),记其数量为R(t),表示t时刻已从感染病者中移出的人数,包括死亡者和治愈者,这部分人数既不是已感染者,也不是非感染者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已经推出了传染系统。
该传染病的传播流程图如下:
图1传染病传播流程图
5.2传染病模型的建立⑸
传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。
对S来说,一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人,使其成为潜伏期感染者流出S;
对于E来说,流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人,流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者;
对于I来说,它既有从包括隔离和未被隔离的H中确诊的流入者,也有已经治愈的流出者;
对于R来说,它只有从I中治愈转化而来的流入者。
以上过程在传染的每一时刻都是相同的。
为此我们可将时间假定的非常小,在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分,这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下:
1>控制前阶段:
前两天,患者没有住院,疑似患者没有被隔离,患者可以随意接触和感染正常人。
分析控制前vt阶段时间内,疫情的发展与变化。
(1)正常人——疑似患者:
控制前阶段病人尚未被隔离,所以疫情发展比较迅速,此时病人人均每天接触「个正常人,假设t时刻病人人数为I(t),则新增疑似患者人数为AE,AE=I(t)r-At=r-I(t)Ato
(2)疑似患者——潜伏期:
疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者,病毒携带者会进入潜伏期,而非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为入,假设t时刻疑似患者人数为E(t),潜伏期患者人数为Q(t),则Q(t)=E(t)x,故新增潜伏期人数为AQ=AE•入o
(3)潜伏期确诊患者:
因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长,用P表示这一特性。
那么新增确诊患者人数为Al=p・Q(t)・At,现在要确定p,如果淋伏期天数为a
111到a,假设其变化到了一个稳定阶段,那么随曹天数的增加犢伏期的病人越来越多,2其概率分布呈指数稳步增长,则每天有1-(1-1/(a-a))e-t概率的人变为猪流感患者,即p=1-(1-1/(a-a))e-to所饮薪增患者人数:
Al=1-(1-1/(a-aJ)e-t・AQ・AtF(1
⑷确诊患奢-丄--治'
愈、死亡:
设T为退出系统人数(治愈者和死亡者),如果治愈天数设为a,那么a天
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后病人要么死亡要么被治愈,而被治愈的人产生抗体,不再会被传染,所以被洽愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。
设系统退出率为a,则有退出人数AT=I(t)pAtop的求解方法与p相同,即随着天数的增加退出传染系统的人数也越乗越多/则P=1-(1-11/a)-e-to故新退出传染系统的人数3
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根据上述(O(4)的式子可进一步得出:
Q二九・E
Q(t+At)-Q(t)=x-rJ(t)«
At-(1-(1-1/Ja-a))•e(-t))-Q(t)・AtVt+At)-I(t)=1-Cl-1/(a-a))•eW4QAt-(1-(1-(1/a3)).e(-0)•I(t)-At〔T(t+At)—T(t)=(1—(1—(1/a3))!
W))・I(t)•At
所以得出以下:
.-dQ/dt=x.r-I(t)-(1-(1-1/(a2-a1))•e-t)・Q(t)
dl/dt=(1-(1-1/(a2-a1)).e(-t)-Q(t)-(1-(1-(1/a3))・e(-t)・I(t)
dT/dt=(1-(1-1/a))・W)・I(t)2、控制后阶段:
两天之后,患者全部住院,疑似患者全部被隔离,剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。
分析控制后阶段At时间内,疫情的发展与变化。
控制后阶段,病人开始被隔离,所以疫情发展开始变慢,并受隔离强度p影响,此时病人每天接触的AE=L・I(t)・△正常人数目广也在变小,假设病人的数目为l(t),则疑似患者数目。
又因为接触率「与隔离强度p有关,也呈指数分布,所以r=r.e-Pt,故新增疑似患者的数目肛=res・i(t)・At。
控制后阶段,疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例入不会改变。
假设t时刻疑似患者人数为E(t),潜伏期患者人数为Q(t)=E(t)u,故新增潜伏期人数为AQ=AE・U。
爭伏期患者变为确诊患申的过程与控制前时刻相同,所以新增患者人数
Al=(1-(1-V(a-a))-e-t)AQ-Ato
(4)确诊患會-丄--治愈者、死亡者:
同样追出传染系统的人数不变,则新增退出传染系统的人数
AT=(1—1/a)•e_tI(t)-Ato
根据上述(1》
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