圆锥曲线经典题目含答案解析.docx

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圆锥曲线经典题目含答案解析

圆锥曲线经典题型

一.选择题（共1０小题）

1.直线ｙ＝x﹣１与双曲线x２﹣=1（b>0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）

A．（1，）ﻩB.（，+∞）C．（１,＋∞）ﻩD.（1,）∪（，+∞）

2.已知Ｍ（x0,y０）是双曲线C:

＝1上的一点,F1,F２是C的左、右两个焦点,若<0,则y０的取值范围是（）

A.B．ﻩC．ﻩD．

3．设Ｆ1，F２分别是双曲线（a>0，ｂ>0）的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点Ｐ,使得，其中O为坐标原点,且，则该双曲线的离心率为（）

A．ﻩB．ﻩC．D．

4．过双曲线﹣＝1（ａ>0，b＞０）的右焦点F作直线y＝﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于Ｂ点,若=2,则该双曲线的离心率为（　　）

A．Ｂ.2ﻩC．D.

５.若双曲线=1（ａ>0,b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）２+ｙ2＝2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（　）

A．（2,+∞）B.（１,2）ﻩC．（1,）ﻩD．（,+∞）

6．已知双曲线C：

的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A.B.ﻩC．Ｄ．2

７.设点P是双曲线=1（ａ>0,b>0）上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且｜PＦ1|=2|ＰF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（　）

Ａ．ﻩB.ﻩC．y＝２xﻩD.ｙ=4ｘ

８．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=１相交,则该双曲线的离心率的取值范围是（　）

Ａ.（,+∞）Ｂ．（1,）ﻩC．（2．+∞）ﻩD.（1,2）

9.如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（　）

A．ｘ2﹣=1B．﹣=1C．﹣＝１D．﹣=1

1０.已知F是双曲线C：

x２﹣＝1的右焦点，P是Ｃ上一点，且PＦ与x轴垂直,点A的坐标是（１,3）,则△AＰF的面积为（　）

A.B．C．D．

二．填空题（共2小题）

1１．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于Ｐ、Q两点,若|ＰQ｜=8,Ｆ2是双曲线的右焦点,则△PF2Ｑ的周长是.

12．设F１，F２分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且，则该双曲线的离心率为.

三.解答题（共4小题）

13.已知点F1、Ｆ２为双曲线C:

ｘ2﹣=1的左、右焦点，过Ｆ2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF１F２=30°．

（1）求双曲线Ｃ的方程；

（2）过双曲线Ｃ上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2，求•的值.

1４．已知曲线Ｃ１：

﹣＝1（a＞0,b>0）和曲线C2:

+=１有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线Ｃ１的右支上一点，Ｆ为右焦点,连ＡF交曲线C1的右支于点Ｂ，作BＣ垂直于定直线l：

ｘ＝，垂足为Ｃ，求证:

直线AC恒过ｘ轴上一定点．

15．已知双曲线Γ:

的离心率ｅ=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.

（Ⅰ）求双曲线Γ的方程;

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线ｌ,使直线l与双曲线Γ交于Ｒ、Ｔ两点，且点P是线段RT的中点？

若直线l存在，请求直线l的方程;若不存在，说明理由．

16．已知双曲线C：

的离心率e=，且b＝.

（Ⅰ）求双曲线C的方程;

（Ⅱ）若P为双曲线C上一点,双曲线Ｃ的左右焦点分别为Ｅ、Ｆ,且•=0,求△ＰＥF的面积．

一.选择题（共1０小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=１（b>0）有两个不同的交点,则此双曲线离心率的范围是（　　）

A.（1,）B.（，+∞）ﻩC.（１,+∞）ﻩＤ．（１，）∪（，+∞）

【解答】解:

∵直线y=x﹣1与双曲线ｘ2﹣=1（ｂ>0）有两个不同的交点,

∴1>ｂ>0或b＞1．

∴e==>１且e≠.

故选:

D．

２．已知Ｍ（x0，y0）是双曲线C：

=1上的一点,F１，F２是C的左、右两个焦点，若＜0,则y0的取值范围是（　）

A.B．ﻩC．ﻩD.

【解答】解：

由题意,=（﹣﹣x0,﹣ｙ0）•（﹣x０，﹣y0）=x0２﹣3+ｙ02＝3y02﹣１＜０，

所以﹣＜y０<．

故选:

Ａ.

3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞０）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为（　　）

Ａ．B．ﻩＣ．ﻩD.

【解答】解:

取PF2的中点A，则

∵，

∴⊥

∵O是F1Ｆ２的中点

∴OA∥ＰＦ1,

∴PＦ1⊥ＰF２,

∵|PF1|=3|PＦ２|，

∴2ａ=|PF１|﹣|ＰF2|=2｜ＰF2｜，

∵|PF1|2+｜PＦ２｜2=４c2，

∴10a２=4c2,

∴e=

故选C.

4.过双曲线﹣＝1（a＞0，ｂ>0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A,交双曲线左支于Ｂ点，若=2,则该双曲线的离心率为（）

Ａ．ﻩB.2ﻩC．D．

【解答】解:

设Ｆ（ｃ,０）,则直线AB的方程为y=（ｘ﹣ｃ）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（,﹣）,

由＝2，可得Ｂ（﹣,﹣）,

把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，

即＝１，整理可得c=ａ，

即离心率e＝=．

故选：

C．

5.若双曲线=1（a＞0，b>0）的渐近线与圆（ｘ﹣2）2+y２=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）

A．（2,+∞）Ｂ．（1,2）ﻩＣ．（1,）Ｄ.（，+∞）

【解答】解:

∵双曲线渐近线为ｂｘ±aｙ＝0，与圆（x﹣2）2＋y2=2相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即

∴ｂ2＜a2，

∴c2=a2＋ｂ2＜2a2，

∴e=＜

∵ｅ＞1

∴１

故选C.

６.已知双曲线Ｃ：

的右焦点为Ｆ,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　）

A.ﻩＢ．C.ﻩD．2

【解答】解:

设F（c，0），渐近线方程为y=x，

可得Ｆ到渐近线的距离为=b，

即有圆F的半径为ｂ,

令x=ｃ,可得y＝±b=±，

由题意可得＝b，

即ａ=b，c==a，

即离心率ｅ＝=,

故选C.

7.设点P是双曲线＝1（a＞０，ｂ>0）上的一点,F１、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PＦ2，且｜PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是（　）

A.B．ﻩC．ｙ=2xﻩD.ｙ=４x

【解答】解:

由双曲线的定义可得｜PF１｜﹣｜PF2|=2a,

又｜PF1|=2｜PF2|，

得|PF２|=２a，|PＦ1|=４a;

在RT△PF1Ｆ2中，|Ｆ１Ｆ２｜２＝|PF1｜2+|ＰF2|２，

∴4ｃ2=1６ａ2+4a2，即c2=5a２,

则b2＝４a2．即b=２ａ,

双曲线=1一条渐近线方程:

y=2x；

故选：

C.

8．已知双曲线的渐近线与圆ｘ2+（y﹣2）２=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（　）

Ａ.（,+∞）B.（1，）ﻩC．（2.+∞）D．（1,２）

【解答】解:

∵双曲线渐近线为ｂx±ａy＝０,与圆x2+（y﹣2）2＝1相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1

∴３a２＜ｂ２，

∴c２=a2+b2>４a２,

∴ｅ=＞２

故选：

Ｃ.

9.如果双曲线经过点P（2，）,且它的一条渐近线方程为ｙ=ｘ，那么该双曲线的方程是（　）

A.ｘ2﹣=１ﻩB．﹣=1ﻩC.﹣=１ﻩD．﹣=1

【解答】解:

由双曲线的一条渐近线方程为y=x，

可设双曲线的方程为x2﹣y２=λ（λ≠0）,

代入点P（２，）,可得

λ=4﹣2=２，

可得双曲线的方程为x2﹣y2＝2，

即为﹣＝1.

故选：

B.

10．已知F是双曲线C:

ｘ2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（１，3），则△APF的面积为（　）

Ａ.ﻩＢ．ﻩC.ﻩD.

【解答】解：

由双曲线C:

x２﹣=1的右焦点F（2,0）,

PF与x轴垂直，设（2,ｙ），y＞0，则ｙ=3,

则P（2,3），

∴AP⊥PＦ，则丨AＰ丨=1,丨PF丨=３,

∴△APF的面积Ｓ=×丨AP丨×丨PF丨=，

同理当ｙ<０时,则△APF的面积Ｓ=，

故选D.

二.填空题（共2小题）

11．过双曲线的左焦点F1作一条ｌ交双曲线左支于Ｐ、Q两点，若|ＰQ|=８，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是　20　．

【解答】解：

∵|PF1｜＋｜QF1｜=｜PQ|＝8

∵双曲线x２﹣=1的通径为==8

∵PQ=8

∴PＱ是双曲线的通径

∴PＱ⊥Ｆ1F2，且PＦ１＝ＱF1=ＰQ=４

∵由题意，|PF２|﹣|PF1｜＝2，｜QF2|﹣｜QF１|=２

∴|PF2｜+|QF2|=|PF1|＋|ＱF1|+4=4+4+4=1２

∴△ＰF2Ｑ的周长=|ＰF2|+|QF2|+｜ＰQ|=12+８＝20，

故答案为20.

12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P，使，Ｏ为坐标原点,且，则该双曲线的离心率为.

【解答】解:

取PＦ２的中点Ａ,则

∵，

∴2•=0,

∴,

∵OA是△PF1F2的中位线,

∴ＰF1⊥PＦ2,OA=PF1．　

由双曲线的定义得|PF1|﹣|ＰF2|=2ａ，

∵|PF１|=|ＰＦ２|,

∴|PF2|=,|PF1|=.

△PF１Ｆ2中，由勾股定理得|PF1|２+|ＰＦ２|2=４c2,

∴（）2+（）2=4c2，

∴e=．

故答案为：

．

三．解答题（共4小题）

13.已知点F1、F2为双曲线C：

x2﹣＝１的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点Ｍ，∠MF1F２＝30°.

（1）求双曲线Ｃ的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为Ｐ1、P2,求•的值．

【解答】解：

（１）设F2,M的坐标分别为，

因为点M在双曲线C上，所以,即,所以，

在Rｔ△MＦ２Ｆ1中,∠MF1F2＝３０°，,所以…（3分）

由双曲线的定义可知:

故双曲线C的方程为:

…（6分）

（2）由条件可知:

两条渐近线分别为…（８分）

设双曲线C上的点Ｑ（x0，y０）,设两渐近线的夹角为θ，

则点Ｑ到两条渐近线的距离分别为,…（11分）

因为Q（x0，ｙ0）在双曲线C：

上，

所以,又cosθ＝，

所以=﹣…（1４分）

14．已知曲线C1:

﹣=1（a>0，b＞0）和曲线C2：

+=1有相同的焦点，曲线C１的离心率是曲线Ｃ2的离心率的倍．

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点,Ｆ为右焦点,连AF交曲线Ｃ1的右支于点B，作BC垂直于定直线ｌ：

x=，垂足为C，求证:

直线AC恒过x轴上一定点.

【解答】（Ⅰ）解：

由题知：

ａ2+b2=2,曲线C2的离心率为…（2分）

∵曲线C1的离心率是曲线Ｃ2的离心率的倍，

∴＝即a2＝b2，…（3分）

∴a=b=1,∴曲线C１的方程为x2﹣y2=1；　　　　　　　　…（4分）

（Ⅱ）证明：

由直线AＢ的斜率不能为零知可设直线ＡB的方程为：

ｘ=ny+…（5分）

与双曲线方程ｘ２﹣ｙ2=1联立,可得（ｎ2﹣1）y2+2nｙ＋1＝0

设A（x１,ｙ1）,B（x２，y2）,则y1+y2=﹣,y１y2=，…（７分）

由题可设点C（，y２）,

由点斜式得直线AC的方程：

y﹣y２=（x﹣）　　…（9分）

令ｙ=0，可得x=＝＝　…（11分）

∴直线AC过定点（,0）．　　　　　　　　　…（12分）

1５．已知双曲线Γ：

的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．

（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存