应力及强度计算Word文档格式.docx
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对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正,反之为负。
两点结论:
(1)当时,即横截面上,达到最大值,即。
当=时,即纵截面上,==0。
(2)当时,即与杆轴成的斜截面上,达到最大值,即。
1.2拉(压)杆的应变和胡克定律
(1)变形及应变
杆件受到轴向拉力时,轴向伸长,横向缩短;
受到轴向压力时,轴向缩短,横向伸长。
如图3-2。
图3-2
轴向变形
轴向线应变
横向变形
横向线应变
正负号规定伸长为正,缩短为负。
(2)胡克定律
当应力不超过材料的比例极限时,应力与应变成正比。
即
(3-5)
或用轴力及杆件的变形量表示为
(3-6)
式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度,是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。
公式(3-6)的适用条件:
(a)材料在线弹性X围内工作,即;
(b)在计算时,l长度内其N、E、A均应为常量。
如杆件上各段不同,则应分段计算,求其代数和得总变形。
(3-7)
(3)泊松比
当应力不超过材料的比例极限时,横向应变与轴向应变之比的绝对值。
(3-8)
1.3材料在拉(压)时的力学性能
1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能
应力——应变曲线如图3-3所示。
图3-3低碳钢拉伸时的应力-应变曲线
卸载定律:
在卸载过程中,应力和应变按直线规律变化。
如图3-3中dd’直线。
冷作硬化:
材料拉伸到强化阶段后,卸除荷载,再次加载时,材料的比例极限升高,而塑性降低的现象,称为冷作硬化。
如图3-3中d’def曲线。
图3-3中,of’为未经冷作硬化,拉伸至断裂后的塑性应变。
d’f’为经冷作硬化,再拉伸至断裂后的塑性应变。
四个阶段四个特征点,见表1-1。
表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段
阶段
图1-5中线段
特征点
说明
弹性阶段
oab
比例极限
弹性极限
为应力与应变成正比的最高应力
为不产生残余变形的最高应力
屈服阶段
bc
屈服极限
为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力
强化阶段
ce
抗拉强度
为材料在断裂前所能承受的最大名义应力
局部形变阶段
ef
产生颈缩现象到试件断裂
表1-1
主要性能指标,见表1-2。
表1-2主要性能指标
性能
性能指标
说明
弹性性能
弹性模量E
当
强度性能
材料出现显著的塑性变形
材料的最大承载能力
塑性性能
延伸率
材料拉断时的塑性变形程度
截面收缩率
材料的塑性变形程度
1.3.2低碳钢在压缩时的力学性能
图3-4低碳钢压缩时的应力-应变曲线
应力——应变曲线如图3-4中实线所示。
低碳钢压缩时的比例极限、屈服极限、弹性模量E与拉伸时基本相同,但侧不出抗压强度
1.3.3铸铁拉伸时的力学性能
图3-5铸铁拉伸时的应力-应变曲线
应力——应变曲线如图3-5所示。
应力与应变无明显的线性关系,拉断前的应变很小,试验时只能侧得抗拉强度。
弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。
1.3.3铸铁压缩时的力学性能
应力——应变曲线如图3-6所示。
图3-6铸铁压缩时的应力-应变曲线
铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4—5倍,破坏时破裂面与轴线成。
宜于做抗压构件。
1.3.4塑性材料和脆性材料
延伸率〉5%的材料称为塑性材料。
延伸率〈5%的材料称为脆性材料。
1.3.5屈服强度
对于没有明显屈服阶段的塑性材料,通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度,并以表示。
1.4强度计算
许用应力材料正常工作容许采用的最高应力,由极限应力除以安全系数求得。
塑性材料[]=;
脆性材料[]=
其中称为安全系数,且大于1。
强度条件:
构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。
对轴向拉伸(压缩)杆件
(3-9)
按式(1-4)可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。
2.扭转变形
2.1切应力互等定理
受力构件内任意一点两个相互垂直面上,切应力总是成对产生,它们的大小相等,方向同时垂直指向或者背离两截面交线,且与截面上存在正应力与否无关。
2.2纯剪切
单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态,称为纯剪切应力状态。
2.3切应变
切应力作用下,单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变,用表示。
2.4剪切胡克定律
在材料的比例极限X围内,切应力与切应变成正比,即
(3-10)
式中G为材料的切变模量,为材料的又一弹性常数(另两个弹性常数为弹性模量E及泊松比),其数值由实验决定。
对各向同性材料,E、、G有下列关系
(3-11)
2.5圆截面直杆扭转时应力和强度条件
2.5.1横截面上切应力分布规律
用截面法可求出截面上扭矩,但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。
需通过平面假设,从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。
(1)沿半径成线性分布,圆心处,最大切应力在圆截面周边上。
(2)切应力方向垂直半径,圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等,图3-7。
图3-7
2.5.2切应力计算公式
横截面上某一点切应力大小为
(3-12)
式中为该截面对圆心的极惯性矩,为欲求的点至圆心的距离。
圆截面周边上的切应力为
(3-13)
式中称为扭转截面系数,R为圆截面半径。
2.5.3切应力公式讨论
(1)切应力公式(3-12)和式(3-13)适用于材料在线弹性X围内、小变形时的等圆截面直杆;
对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用,其误差在工程允许X围内。
(2)极惯性矩和扭转截面系数是截面几何特征量,计算公式见表3-3。
在面积不变情况下,材料离散程度高,其值愈大;
反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。
因此,设计空心轴比实心轴更为合理。
表3-3
实心圆
(外径为d)
空心圆
(外径为D,
内径为d)
2.5.4强度条件
圆轴扭转时,全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值,否则将发生破坏。
因此,强度条件为
(3-14)
对等圆截面直杆
(3-15)
式中为材料的许用切应力。
3.弯曲变形的应力和强度计算
3.1梁横截面上正应力
3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系
(3-16)
式中,是变形后梁轴线的曲率半径;
E是材料的弹性模量;
是横截面对中性轴Z轴的惯性矩。
3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式
(3-17)
式中,M是横截面上的弯矩;
的意义同上;
y是欲求正应力的点到中性轴的距离。
由式(3-17)可见,正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比。
横截面上中性轴的一侧为拉应力,另一侧为压应力。
在实际计算中,正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定,位于中性轴凸向一侧的各点均为拉应力,而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。
最大正应力出现在距中性轴最远点处
(3-18)
式中,称为抗弯截面系数。
对于的矩形截面,;
对于直径为D的圆形截面,;
对于内外径之比为的环形截面,。
若中性轴是横截面的对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值相等,若不是对称轴,则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
3.2梁的正应力强度条件
梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力,其表达式为
(3-19)
由正应力强度条件可进行三方面的计算:
(1)校核强度即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷,校核正应力是否超过容许值,从而检验梁是否安全。
(2)设计截面即已知载荷及容许应力,可由式确定截面的尺寸
(3)求许可载荷即已知截面的几何尺寸及容许应力,按式确定许可载荷。
对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁(如T字形截面、上下不等边的工字形截面等),其强度条件应表达为
(3-20a)
(3-20b)
式中,分别是材料的容许拉应力和容许压应力;
分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。
若梁上同时存在有正、负弯矩,在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。
3.3梁的切应力
(3-21)
式中,Q是横截面上的剪力;
是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩;
是整个横截面对中性轴的惯性矩;
b是距中性轴为y处的横截面宽度。
3.3.1矩形截面梁
切应力方向与剪力平行,大小沿截面宽度不变,沿高度呈抛物线分布。
切应力计算公式
(3-22)
最大切应力发生在中性轴各点处,。
3.3.2工字形截面梁
切应力主要发生在腹板部分,其合力占总剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。
切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。
计算公式为
(3-23)
式中各符号可参看。
另外,沿翼缘水平方向也有不大的切应力,计算公式为
(3-24)
翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化,并与腹板部分的竖向剪切应力形成所谓的剪应力流。
由于这部分切应力较小,一般不予考虑,只是在开口薄壁截面梁的弯曲中才用到它。
3.3.3圆形截面梁
横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点,其竖直分量沿截面宽度相等,沿高度呈抛物线变化。
最大切应力发生在中性轴上,其大小为
(3-25)
圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。
3.4切应力强度条件
梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即
(3-26)
式中,是梁上的最大切应力值;
是中性轴一侧面积对中性轴的静矩;
是横截面对中性轴的惯性矩;
b是处截面的宽度。
对于等宽度截面,发生在中性轴上,对于宽度变化的截面,不一定发生在中性轴上。
切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面和求许可载荷三方面的计算。
在进行梁的强度计算时,应注意下述二个问题。
(1)对于细长梁的弯曲变形,正应力的强度条件是主要的,剪应力强度条件是次要的。
一般仅需考虑正应力强度条件。
对于较粗短的梁,当集中力较大时,截面上剪力较大而弯矩较小,或是薄壁截面梁时,需要校核切应力强度。
(2)正应力的最大值发生在横截面的上下边缘,该处的切应力为零;
切应力的最大值一般发生在中性轴上,该处的正应力为零。
对于横截面上其余各点,将同时存在正应力和切应力,这些点的强度计算,应按强度理论计算公式进行。
3.5提高弯曲强度的主要措施
3.5.1选择合理的截面形式
由公式(3-20)可知,梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面系数成正比。
在截面面积相同的情况下,改变截面形状以增大抗弯截面系数,从而达到
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