六年级奥数抽屉原理.doc
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六年级奥数抽屉原理.doc
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原理
(一)抽屉原理
(一)
专题简析:
如果给你5盒饼干,让你把它们放到4个抽屉里,那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中,那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学,那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条:
(1)如果把x+k(k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
(2)如果把m×x×k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”?
哪些是“元素”?
然后按以下步骤解答:
a、构造抽屉,指出元素。
b、把元素放入(或取出)抽屉。
C、说明理由,得出结论。
本周我们先来学习第
(1)条原理及其应用。
例题1
某校六年级有学生367人,请问有没有两个学生的生日是同一天?
为什么?
把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中,至少有一个抽屉中有2个元素,即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天,闰年一年有366天。
把天数看做抽屉,共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中,至少在一个抽屉里有两个人,因此,肯定有两个学生的生日是同一天。
挑战自我
1、某校有370名1992年出生的学生,其中至少有2个学生的生日是同一天,为什么?
2、某校有30名学生是2月份出生的,能否至少有两个学生生日是在同一天?
3、15个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生?
例题2
某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是:
有买一本的、二本的、也有三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)?
首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有7种类型,把7种类型看成7个抽屉,去的人数看成元素。
要保证至少有一个抽屉里有2人,那么去的人数应大于抽屉数。
所以至少要去7+1=8(个)学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。
买书的类型有:
买一本的:
有语文、数学、外语3种。
买二本的:
有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的:
有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7(种)把7种类型看做7个抽屉,要保证一定有两位同学买到相同的书,至少要去8位学生。
挑战自我
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。
买书的情况是:
有买一本的、二本的、三本或四本的。
,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)?
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
每个学生从中任意借两本,那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种?
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的?
例题3
一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的?
把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有1副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。
再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的,以此类推。
把四种颜色看成是4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有一副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。
根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。
以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有
5+2+2=9(只)
答:
最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。
挑战自我
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的?
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。
颜色有白、黑、蓝三种。
问:
最少要摸出多少只袜子,才能保证有3双同色的?
3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。
每次从布袋中拿出一只袜子,最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子?
例题4
任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数,这是为什么?
一个自然数除以4的余数只能是0,1,2,3。
如果有2个自然数除以4的余数相同,那么这两个自然数的差就是4的倍数。
一个自然数除以4的余数可能是0,1,2,3,所以,把这4种情况看做时个抽屉,把任意5个不相同的自然数看做5个元素,再根据抽屉原理,必有一个抽屉中至少有2个数,而这两个数的余数是相同的,它们的差一定是4的倍数。
所以,任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数。
挑战自我
1、任意6个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是5的倍数,这是为什么?
2、任意取几个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数?
3、证明在任意的(n+1)个不相同的自然数中,必有两个数之差为n的倍数。
例题5
能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同?
由图29-1可知:
所有空格中只能填写1或2或3。
因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×5=5,最大是3×5=15。
从5到15共有11个互不相同的整数值,把这11个值看承11个抽屉,把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素,只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。
因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5,最大是15,从5到15共有11个互不相同的整数值。
而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个,所以,这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
挑战自我
1、能否在6行6列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同?
为什么?
2、证明在8×8的方格表的每个空格中,分别填上3,4,5这三个数中的任一个,在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。
3、在3×9的方格图中(如图29-2所示),将每一个小方格涂上红色或者蓝色,不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同。
这是为什么?
三十、抽屉原理
(二)抽屉原理
(二)
专题简析:
在抽屉原理的第
(2)条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式:
元素总数=商×抽屉数+余数
如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是0,则最小数=商。
例题1
幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
把120个小朋友看做是120个抽屉,把玩具件数看做是元素。
则364=120×3+4,4<120。
根据抽屉原理的第
(2)条规则:
如果把m×x×k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素,即有人会得到4件或4件以上的玩具。
挑战自我
1、一个幼儿园大班有40个小朋友,班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
2、把16枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。
这是为什么?
3、把25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有7个球?
例题2
布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。
最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样?
把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。
根据抽屉原理第
(2)条,要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。
即2×4+1=9(个)球。
列算式为
(3—1)×4+1=9(个)
挑战自我
1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块,它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有4块颜色相同,应至少取出多少块木块?
3、一副扑克牌共54张,其中1—13点各有4张,还有两张王的扑克牌。
至少要取出几张牌,才能保证其中必有4张牌的点数相同?
例题3
某班共有46名学生,他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语,每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?
参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个小组的有6个类型,只参加三个组的有4种类型,参加四个组的有1种类型。
把4+6+4+1=15(种)类型看做15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=3×15+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
挑战自我
1、某班有37个学生,他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几位同学订的报刊相同?
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
某班有52名同学,问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同?
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问:
在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同?
例题4
从1至30中,3的倍数有30÷3=10个,不是3的倍数的数有30—10=20个,至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。
挑战自我
1、在1,2,3,……49,50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除?
2、从1至120中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数?
3、从1至36中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是5的倍数?
例题5
将400张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但都不能超过11张,试证明:
找少有七名同学得到的卡片的张数相同。
这题需要灵活运用抽屉原理。
将分得1,2,3,……,11张可片看做11个抽屉,把同学人数看做元素,如果每个抽屉都有一个元素,则需1+2+3+……+10+11=66(张)卡片。
而400÷66=6……4(张),即每个周体都有6个元素,还余下4张卡片没分掉。
而这4张卡片无论怎么分,都会使得某一个抽屉至少有7个元素,所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。
挑战自我
1、把280个桃分给若干只猴子,每只猴子不超过10个。
证明:
无论怎样分,至少有6只猴子得到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子里,每个格子最多可以放5颗棋子。
证明:
至少有5个格子中的棋子数目相同。
3、汽车8小时行了310千米,已知汽车第一小时行了25千米,最后一小时行了45千米。
证明:
一定存在连续的两小时,在这两小时内汽车至少行了80千米。
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