高考总复习 数学理科 新人教B版第十二章 第1节 合情推理与演绎推理附解析及答案Word文档下载推荐.docx
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由概念的定义或一些真命题,依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.
[微点提醒]
1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.
2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误.
3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,尽管推理形式是正确的,但所得结论是错误的.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.( )
(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )
(4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.( )
解析
(1)类比推理的结论不一定正确.
(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.
(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.
答案
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
2.(选修2-2P72例3改编)对于任意正整数n,2n与n2的大小关系为( )
A.当n≥2时,2n≥n2B.当n≥3时,2n≥n2
C.当n≥4时,2n≥n2D.当n≥5时,2n≥n2
解析 当n=2时,2n=n2;
当n=3时,2n<
n2;
当n=4时,2n=n2;
当n=5时,2n>
归纳判断,当n≥4时,2n≥n2.故选C.
答案 C
3.(引自人教A版选修2-2P84A5)在等差数列{an}中,若a10=0,则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<
19,且n∈N+)成立.类比上述性质,在等比数列{bn}中,若b9=1,则存在的等式为________.
解析 根据类比推理的特点可知:
等比数列和等差数列类比,在等差数列中是和,在等比数列中是积,故有b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<
17,且n∈N+).
答案 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<
17,且n∈N+)
4.(2019·
淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的:
对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点,以上推理( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.结论正确
解析 大前提是“对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,且满足在x0附近左右两侧导函数值异号,那么x=x0才是函数f(x)的极值点,所以大前提错误.故选A.
答案 A
5.(2018·
大连模拟)数列2,5,11,20,x,…中的x等于________.
解析 由5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,故x=32.
答案 32
6.(2019·
西安二模)将正整数1,2,3,4,…按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为________.
解析 由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1个数,且最后一个数为n2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,左数第10个数是91.
答案 91
考点一 归纳推理 多维探究
角度1 与图形变化有关的推理
【例1-1】(2018·
石家庄模拟)某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5,则预计第10年树的分枝数为________.
解析 由2=1+1,3=1+2,5=2+3知,从第三项起,每一项都等于前两项的和,则第6年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55.
答案 55
角度2 与数字或式子有关的推理
【例1-2】(2019·
安阳一模)如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:
原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,……,以此类推,则标20192的格点的坐标为( )
A.(1010,1009)B.(1009,1008)
C.(2019,2018)D.(2018,2017)
解析 点(1,0)处标1,即12;
点(2,1)处标9,即32;
点(3,2)处标25,即52;
……,由此推断点(n+1,n)处标(2n+1)2,当2n+1=2019时,n=1009,故标20192的格点的坐标为(1010,1009).故选A.
规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点,找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性
【训练1】
(1)如图所示,是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形,其中第1个图形用了3根火柴,第2个图形用了9根火柴,第3个图形用了18根火柴,…,则第2018个图形用的火柴根数为( )
A.2014×
2017B.2015×
2016
C.3024×
2018D.3027×
2019
(2)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:
22=1+3;
32=1+3+5;
42=1+3+5+7;
23=3+5;
33=7+9+11;
43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,则52=1+3+5+7+9,若m3(m∈N+)的分解中最小的数是73,则m的值为________.
解析
(1)由题意,第1个图形需要火柴的根数为3×
1;
第2个图形需要火柴的根数为3×
(1+2);
第3个图形需要火柴的根数为3×
(1+2+3);
…
由此,可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×
(1+2+3+…+n).
所以第2018个图形所需火柴的根数为3×
(1+2+3+…+2018)=3×
=3027×
2019.
(2)根据23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,从23起,m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和,23为前两项和,33为接下来三项和,故m3的首个数为m2-m+1.因为m3(m∈N+)的分解中最小的数是73,所以m2-m+1=73,解得m=9.
答案
(1)D
(2)9
考点二 类比推理
【例2】
(1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定出来x=2,类似地不难得到1+=( )
A.B.
C.D.
(2)若点P0(x0,y0)在椭圆+=1(a>
b>
0)外,过点P0作该椭圆的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为+=1.那么对于双曲线-=1(a>
0,b>
0),类似地,可以得到一个正确的切点弦方程为________.
解析
(1)令1+=x(x>
0),即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=(x=舍),故1+=,故选C.
(2)若点P0(x0,y0)在双曲线-=1(a>
0)外,过点P0作该双曲线的两条切线,切点分别为P1,P2,则切点弦P1P2所在直线的方程为-=1.
答案
(1)C
(2)-=1
规律方法 1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
2.类比推理常见的情形有平面与空间类比;
低维的与高维的类比;
等差数列与等比数列类比;
数的运算与向量的运算类比;
圆锥曲线间的类比等.
【训练2】
(1)(2018·
孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=( )
A.2πr4B.3πr4C.4πr4D.6πr4
(2)在平面上,设ha,hb,hc是△ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:
++=1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为______________________________________.
解析
(1)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,
∵(2πr4)′=8πr3,
∴“超球”的四维测度W=2πr4,故选A.
(2)设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出结论:
+++=1.
答案
(1)A
(2)+++=1
考点三 演绎推理 多维探究
角度1 与逻辑推理有关的问题
【例3-1】
(1)(2018·
石家庄一模)甲、乙、丙三位同学,其中一位是班长,一位是体育委员,一位是学习委员,已知丙的年龄比学委大,甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小.据此推断班长是________.
(2)2019年夏季大美青海又迎来了旅游热,甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖,海北百里油菜花海,茶卡天空之境三个地方时,
甲说:
我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海;
乙说:
我没去过茶卡天空之境;
丙说:
我们三人去过同一个地方.
由此可判断乙去过的地方为________.
解析
(1)根据“甲与体委的年龄不同,体委比乙的年龄小”可得丙是体委;
根据“丙的年龄比学委大,体委比乙的年龄小”可得乙的年龄>
丙的年龄>
学习委员的年龄,由此可得,乙不是学习委员,那么乙是班长.
(2)由乙说:
我没去过茶卡天空之境,可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方,
但甲说:
我去过的地方比乙多,但没去过海北百里油菜花海,则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方,乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方,
再由丙说:
我们三人去过同一地方,
可推知乙去
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