用配方法解一元二次方程1.docx
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用配方法解一元二次方程1
用配方法解一元二次方程1
一.选择题
1.用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0,下列配方正确的是( )
A.(x﹣3)2=16B.(x+3)2=16C.(x﹣3)2=7D.(x﹣3)2=2
2.用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0,下列配方结果正确的是( )
A.(x﹣4)2=19B.(x+4)2=19C.(x+2)2=7D.(x﹣2)2=7
3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式,则m,n的值是( )
A.4,13B.﹣4,19C.﹣4,13D.4,19
4.用配方法解方程x2+x=2,应把方程的两边同时( )
A.加B.加C.减D.减
5.已知a2﹣2a+1=0,则a2010等于( )
A.1B.﹣1C.D.﹣
6.一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程,配方结果是( )
A.B.C.D.
7.将方程3x2+6x﹣1=0配方,变形正确的是( )
A.(3x+1)2﹣1=0B.(3x+1)2﹣2=0C.3(x+1)2﹣4=0D.3(x+1)2﹣1=0
8.已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成(x﹣p)2=7的形式,那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的( )
A.(x﹣p)2=5B.(x﹣p)2=9C.(x﹣p+2)2=9D.(x﹣p+2)2=5
二.填空题
9.一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为______.
10.用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程______.
11.将方程x2﹣4x﹣1=0化为(x﹣m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n=______.
12.如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0,则此三角形的面积是______.
13.已知点(5﹣k2,2k+3)在第四象限内,且在其角平分线上,则k=______.
14.方程(x﹣1)(x﹣3)=1的两个根是______.
15.当x=______时,代数式的值是0.
16.方程4x2﹣4x+1=0的解x1=x2=______.
17.解方程:
9x2﹣6x+1=0,
解:
9x2﹣6x+1=0,
所以(3x﹣1)2=0,
即3x﹣1=0,
解得x1=x2=______.
18.用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0,变形为(x+h)2=k,则h=______,k=______.
三.解答题
19.用配方法解方程
(1)x2﹣6x﹣15=0
(2)3x2﹣2x﹣6=0
(3)x2=3﹣2x(4)(x+3)(x﹣1)=12.
20.证明:
不论x为何实数,多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值.
21.分别按照下列条件,求x的值:
分式的值为零.
22.观察下列方程及其解的特征:
(1)x+=2的解为x1=x2=1;
(2)x+=的解为x1=2,x2=;
(3)x+=的解为x1=3,x2=;
…
解答下列问题:
(1)请猜想:
方程x+=的解为______;
(2)请猜想:
关于x的方程x+=______的解为x1=a,x2=(a≠0);
(3)下面以解方程x+=为例,验证
(1)中猜想结论的正确性.
解:
原方程可化为5x2﹣26x=﹣5.
(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)
参考答案与试题解析
一.选择题
1.用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0,下列配方正确的是( )
A.(x﹣3)2=16B.(x+3)2=16C.(x﹣3)2=7D.(x﹣3)2=2
【解答】解:
由原方程移项,得
x2﹣6x=7,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方32,得
x2﹣6x+32=7+32,
∴(x﹣3)2=16;
故选A.
2.用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0,下列配方结果正确的是( )
A.(x﹣4)2=19B.(x+4)2=19C.(x+2)2=7D.(x﹣2)2=7
【解答】解:
由原方程,得
x2﹣4x=3,
在等式的两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方,得
x2﹣4x+4=3+4,即x2﹣4x+4=7,
配方,得
(x﹣2)2=7;
故选D.
3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式,则m,n的值是( )
A.4,13B.﹣4,19C.﹣4,13D.4,19
【解答】解:
∵x2﹣8x+3=0
∴x2﹣8x=﹣3
∴x2﹣8x+16=﹣3+16
∴(x﹣4)2=13
∴m=﹣4,n=13
故选C.
4.用配方法解方程x2+x=2,应把方程的两边同时( )
A.加B.加C.减D.减
【解答】解:
∵x2+x=2
∴x2+x+=2+
故选:
A.
5.已知a2﹣2a+1=0,则a2010等于( )
A.1B.﹣1C.D.﹣
【解答】解:
由原方程,得(a﹣1)2=0,
∴a﹣1=0,即a=1;
∴a2010=12010=1.
故选A.
6.一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程,配方结果是( )
A.B.C.D.
【解答】解:
∵2x2+3x+1=0
∴2x2+3x=﹣1
2(x2+x)=﹣1
2(x2+x+)=﹣1+
∴2(x+)2=
即2(x+)2﹣=0
故选B.
7.将方程3x2+6x﹣1=0配方,变形正确的是( )
A.(3x+1)2﹣1=0B.(3x+1)2﹣2=0C.3(x+1)2﹣4=0D.3(x+1)2﹣1=0
【解答】解:
∵3x2+6x﹣1=0
∴3(x2+2x)﹣1=0
∴3(x2+2x+1﹣1)﹣1=0
∴3(x2+2x+1)﹣3﹣1=0
∴3(x+1)2﹣4=0
故选C.
8.已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成(x﹣p)2=7的形式,那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的( )
A.(x﹣p)2=5B.(x﹣p)2=9C.(x﹣p+2)2=9D.(x﹣p+2)2=5
【解答】解:
∵x2﹣6x+q=0
∴x2﹣6x=﹣q
∴x2﹣6x+9=﹣q+9
∴(x﹣3)2=9﹣q
据题意得p=3,9﹣q=7
∴p=3,q=2
∴x2﹣6x+q=2是x2﹣6x+2=2
∴x2﹣6x=0
∴x2﹣6x+9=9
∴(x﹣3)2=9
即(x﹣p)2=9
故选:
B.
二.填空题
9.一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为 x1=x2=1 .
【解答】解:
∵x2﹣2x+1=0
∴(x﹣1)2=0
∴x1=x2=1.
10.用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程 (x﹣2)2=5 .
【解答】解:
把方程x2﹣4x﹣1=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣4x=1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣4x+4=1+4
配方得(x﹣2)2=5.
11.将方程x2﹣4x﹣1=0化为(x﹣m)2=n的形式,其中m,n是常数,则m+n= 7 .
【解答】解:
x2﹣4x﹣1=0,
移项得:
x2﹣4x=1,
配方得:
x2﹣4x+4=1+4,
(x﹣2)2=5,
∴m=2,n=5,
∴m+n=5+2=7,
故答案为:
7.
12.如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0,则此三角形的面积是 .
【解答】解:
由方程x2﹣10x+25=0,得该方程有两个相等的实数根,即5.
则此三角形的三边都是5.
则该三角形的面积为S=×5×5×sin60°=×5×5×=.
13.已知点(5﹣k2,2k+3)在第四象限内,且在其角平分线上,则k= ﹣2 .
【解答】解:
∵点(5﹣k2,2k+3)在第四象限内,
∴,
解得﹣<x<﹣;
又∵点(5﹣k2,2k+3)在第四象限的角平分线上,
∴5﹣k2=﹣2k﹣3,即k2﹣2k﹣8=0,
∴k1=4(不合题意,舍去),k2=﹣2.
故答案是:
﹣2.
14.方程(x﹣1)(x﹣3)=1的两个根是 x1=2+,x2=2﹣ .
【解答】解:
由原方程,得
x2﹣4x+2=0,
移项,得
x2﹣4x=﹣2,
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2﹣4x+4=﹣2+4,
配方,得
(x﹣2)2=2,
∴x=2±,
∴x1=2+,x2=2﹣;
故答案是:
∴x1=2+,x2=2﹣.
15.当x= ﹣1 时,代数式的值是0.
【解答】解:
由分式的值为零的条件得(x+2)2﹣1=0,x+3≠0,
由(x+2)2﹣1=0,得(x+2)2=1,
∴x=﹣1或x=﹣3,
由x+3≠0,得x≠﹣3.
综上,得x=﹣1.
故空中填:
﹣1.
16.方程4x2﹣4x+1=0的解x1=x2= .
【解答】解:
∵4x2﹣4x+1=0
∴(2x﹣1)2=0
∴x1=x2=.
17.解方程:
9x2﹣6x+1=0,
解:
9x2﹣6x+1=0,
所以(3x﹣1)2=0,
即3x﹣1=0,
解得x1=x2= .
【解答】解:
据题意得x1=x2=.
18.用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0,变形为(x+h)2=k,则h= ,k= .
【解答】解:
原方程可以化为:
,
移项,得
x2+x=﹣,
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方,得
x2+x+=﹣+,
配方,得
(x+)2=
比较对应系数,有:
;
故答案是:
、.
三.解答题
19.用配方法解方程
(1)x2﹣6x﹣15=0
(2)3x2﹣2x﹣6=0
(3)x2=3﹣2x
(4)(x+3)(x﹣1)=12.
【解答】解:
(1)移项得:
x2﹣6x=15,
配方得:
x2﹣6x+9=15+9,
(x﹣3)2=24,
开方得:
x﹣3=±,
x1=3+2,x2=3﹣2;
(2)移先得:
3x2﹣2x=6,
x2﹣x=2,
配方得:
x2﹣x+()2=2+()2,
(x﹣)2=,
开方得:
x﹣=±,
,;
(3)x2+2x=3,
配方得:
x2+2x+1=3+1
(x+1)2=4,
开方得:
x=﹣1±2,
x1=1,x2=﹣3;
(4)整理得:
x2+2x=15,
配方得:
x2+2x+1=15+1,
(x+1)2=16,
开方得:
x=﹣1±4,
x1=3,x2=﹣5.
20.证明:
不论x为何实数,多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值.
【解答】解:
2x4﹣4x2﹣1﹣(x4﹣2x2﹣3)=x4﹣2x2+2=(x2﹣1)2+1
∵(x2﹣1)2≥0,
∴(x2﹣1)2+1>0,
∴不论x为何实数,多项式2x4﹣4x2﹣1的值总大于x4﹣2x2﹣3的值.
21.分别按照下列条件,求x的值:
分式的值为零.
【解答】解:
根据题意得,x2﹣5x﹣6=0,
即(x+1)(x﹣6)=0,
∴x+1=0,x﹣6=0,
解得x=﹣1或x=6,
又x+1≠0,
解得x≠﹣1,
∴x的值是6.
22.观察下列方程及其解的特征:
(1)x+=2的解为x1=x2=1;
(2)x+=的解为x1=2,x2=;
(3)x+=的解为x1=3,x2=;
…
解答下列问题:
(1)请猜想:
方程x+=的解为 x1=5, ;
(2)请猜想:
关于x的方程x+= (或) 的解为x1=a,x2=(a≠0);
(3)下面以解方程x+=为例,验证
(1)中猜想结论的正确性.
解:
原方程可化为5x2﹣26x=﹣5.
(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)
【解答】解:
(1)x1=5,;
(2)(或);
(3)方程二次项系数化为1,
得.
配方得,
,即,
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- 配方 一元 二次方程
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