云南省中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合Word下载.docx
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(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,△OBP的面积为S,记K=,求K关于m的函数表达式及K的范围.
角度问题
5.(2018·
广东省卷)如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.
(1)求m的值;
(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式;
(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°
?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
6.(2018·
天津)在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx-2m(m是常数),顶点为P.
(1)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标;
(2)若点P在x轴下方,当∠AOP=45°
时,求抛物线的解析式;
(3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当∠AHP=45°
时,求抛物线的解析式.
特殊图形存在性问题
7.(2018·
山西)综合与探究
如图,抛物线y=x2-x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.
8.(2018·
临沂)如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°
,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0),抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE.
①求点P的坐标;
②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?
若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;
若不存在.请说明理由.
参考答案
1.解:
(1)证明:
联立
化简可得x2-(4+k)x-1=0,
∴Δ=(4+k)2+4>0,
故直线l与该抛物线总有两个交点;
(2)解:
当k=-2时,y=-2x+1.
如解图,过点A作AF⊥x轴于点F,过点B作BE⊥x轴于点E,
∴联立解得或,
∴A(1-,2-1),B(1+,-1-2),
∴AF=2-1,BE=1+2.
易求得直线y=-2x+1与x轴的交点C为(,0),
∴OC=,
∴S△OAB=S△AOC+S△BOC=OC·
AF+OC·
BE=OC·
(AF+BE)=×
×
(2-1+1+2)=.
2.解:
(1)令y=0,得x2+x-6=0,
解得x=-3或x=2,
∴A(-3,0),B(2,0).
令x=0,得y=-6,
∴C(0,-6),
∴AB=5,OC=6,
∴S△ABC=AB·
OC=×
5×
6=15;
(2)由题意,得A′B′=AB=5.
要使S△A′B′C′=S△ABC,只要抛物线L′与y轴交点为C′(0,-6)或C′(0,6)即可.
设所求抛物线L′:
y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.
又知,抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同,
∴=,=,
解得m=±
7,n=±
1(n=1舍去).
∴抛物线L′:
y=x2+7x+6或y=x2-7x+6或y=x2-x-6.
3.解:
(1)设函数的关系式为y=a(x+1)2+4,
将B(2,-5)代入得:
a=-1,
∴该函数的关系式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3;
(2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为(0,3);
令y=0,-x2-2x+3=0,解得x1=-3,x2=1,即抛物线与x轴的交点为(-3,0),(1,0);
(3)设抛物线与x轴的交点为M,N(点M在点N的左侧),由
(2)知:
M(-3,0),N(1,0),
当函数图象向右平移经过原点时,点M与点O重合,因此抛物线向右平移了3个单位,
故A′(2,4),B′(5,-5),
∴S△OA′B′=×
(2+5)×
9-×
2×
4-×
5=15.
4.解:
(1)将x=2代入y=2x,得y=4,
∴M(2,4),由题意得∴
(2)如解图,过点P作PH⊥x轴于点H.
∵点P的横坐标为m,抛物线的函数表达式为y=-x2+4x,
∴PH=-m2+4m.
∵B(2,0),∴OB=2,
∴S=OB·
PH=×
(-m2+4m)=-m2+4m,
∴K==-m+4.
由题意得A(4,0).
∵M(2,4),∴2<
m<
4.
∵K随着m的增大而减小,
∴0<
K<
2.
5.解:
(1)将(0,-3)代入y=x+m得m=-3;
(2)将y=0代入y=x-3得x=3,
∴B(3,0),
将(0,-3),(3,0)代入y=ax2+b,
得解得
∴y=x2-3;
(3)存在,分以下两种情况:
①若点M在BC上方,设MC交x轴于点D,如解图1,
则∠OCD=45°
-15°
=30°
,
∴OD=OC·
tan30°
=,∴D(,0).
设DC的解析式为y=kx-3,将D(,0)代入得k=,
取立解得
∴M(3,6);
②若点M在BC下方,设MC交x轴于点E,如解图2,
则∠OCE=45°
+15°
=60°
∴OE=OC·
tan60°
=3,
∴E(3,0).
设EC的解析式为y=kx-3,将E(3,0)代入得k=,
联立解得
∴M(,-2).
综上所述,存在点M,使得∠MCB=15°
,此时点M的坐标是(3,6)或(,-2).
6.解:
(1)∵抛物线y=x2+mx-2m经过点A(1,0),
∴0=1+m-2m,解得m=1.
∴抛物线的解析式为y=x2+x-2.
∵y=x2+x-2=(x+)2-,
∴顶点P的坐标为(-,-);
(2)抛物线y=x2+mx-2m的顶点P的坐标为(-,-).
由点A(1,0)在x轴正半轴上,点P在x轴下方,∠AOP=45°
,知点P在第四象限.
如解图1,过点P作PQ⊥x轴于点Q,则∠POQ=∠OPQ=45°
.
可知PQ=OQ,即=-,解得m1=0,m2=-10.
当m=0时,点P不在第四象限,舍去.
∴m=-10,
∴抛物线的解析式为y=x2-10x+20;
(3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,当x=2时,无论m取何值时,y都等于4,
∴点H的坐标为(2,4).
如解图2,过点A作AD⊥AH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,则∠DEA=∠AGH=90°
.
∵∠DAH=90°
,∠AHD=45°
∴∠ADH=45°
,∴AH=AD.
∵∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°
∴∠DAE=∠AHG,
∴△ADE≌△HAG(AAS),
∴DE=AG=1,AE=HG=4,
∴点D的坐标为(-3,1)或(5,-1).
①当点D的坐标为(-3,1)时,
可得直线DH的解析式为y=x+.
∵点P(-,-)在直线y=x+上,
∴-=×
(-)+,
解得m1=-4,m2=-.
当m=-4时,点P与点H重合,不符合题意,
∴m=-;
②当点D的坐标为(5,-1)时,
可得直线DH的解析式为y=-x+.
∵点P(-,-)在直线y=-x+上,
∴-=-×
解得m1=-4(舍去),m2=-.
∴m=-.
综上可得,m=-或m=-.
故抛物线的解析式为y=x2-x+或y=x2-x+.
7.解:
(1)令y=0得x2-x-4=0,
解得x1=-3,x2=4,
∴点A、B的坐标分别为A(-3,0),B(4,0),
令x=0得y=-4,
∴点C的坐标为(0,-4);
(2)存在,Q1(,-4),Q2(1,-3);
(3)如解图,过点F作FG⊥PM于点G.
∵B(4,0),C(0,-4),
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°
,即QM=BM.
∵B(4,0),点P的横坐标为m,
∴QM=BM=4-m.
∵PM⊥x轴,FG⊥PM,
∴FG∥x轴,
∴∠QFG=∠OBC=45°
,即FG=QG,QG=QF.
∵PE∥AC,FG∥x轴,
∴∠PFG=∠CAO.
又∵∠AOC=90°
,FG⊥PM,
∴△PFG∽△CAO,
∴=,即=,
∴PG=FG.
又∵FG=QG,
∴PG=QG=QF,
由图可知:
PQ=QG+PG=QF+QF=QF,
∴QF=PQ.
∵点P的横坐标为m,
∴点P的纵坐标为m2-m-4,即PM=-(m2-m-4).
又由图可知:
PQ=PM-QM
=-(m2-m-4)-(4-m)
=-m2+m+4-4+m
=-m2+m,
∴QF=PQ
=(-m2+m)
=-m2+m
=-(m2-4m)
=-(m2-4m+4-4)=-(m-2)2+.
∵-<0,
∴当m=2时,QF有最大值.
8.解:
(1)在Rt△ABC中,由点B的坐标可知OB=1.
∵OC=2OB,
∴OC=2,则BC=3.
又∵tan∠ABC=2,
∴AC=2BC=6,则点A的坐标为(-2,6).
把点A、B的坐标代入抛物线的解析式y=-x2+bx+c中,得
解得
故该抛物线的解析式为y=-x2-3x+4;
(2)①由点A(-2,6)和点B(1,0)的坐标求得直线AB的解析式为y=-2x+2.
如解图1,设点P的坐标为(m,-m2-3m+4),
则点E的坐标为(m,-2m+2),点D的坐标为(m,0),
则PE=-m2-m+2,DE=-2m+2,
由PE=DE,得-m2-m+2=(-2m+2),
1.
又∵-2<m<1,∴m=-1,
∴点P的坐标为(-1,6);
②如解图2,以AB为直角边,分别以A,B为直角顶点作直角三角形ABM交PD于点M1,M2,设点M的坐标为(-1,n).
当点M位于直线AB上方时,由BM2=AM2+AB2,得
(-1-1)2+n2=(-2+1)2+(6-n)2+(-2-1)2+(6-0)2,
解得n=.
故此时,点M的坐标为
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