教学设计平面向量数系的扩充与复数的引入Word下载.docx
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基础盘查二 向量的线性运算
1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;
2.掌握向量数乘的运算及其几何意义;
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
(1)两个向量的差仍是一个向量( )
(2)=-( )
(3)向量a-b与b-a是相反向量( )
(4)两个向量相加就是两个向量的模相加( )
(1)√
(2)√ (3)√ (4)×
2.(人教A版教材习题改编)化简:
(1)(+)++=________.
(2)++-=________.
(1)
(2)0
基础盘查三 共线向量定理
理解两个向量共线的含义,掌握向量的共线定理及应用.
(1)若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同( )
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c( )
(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上( )
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立( )
(2)×
(3)×
2.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
-
|(基础送分型考点——自主练透)
[必备知识]
(1)向量:
既有大小,又有方向的量叫向量;
向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量:
长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:
长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量:
方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:
0与任一向量共线.
(5)相等向量:
长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
[题组练透]
1.给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①②
C.③④D.④⑤
解析:
选A ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵=,∴||=||且∥,
又A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,
则∥且||=||,因此,=.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,既使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是②③.故选A.
2.设a0为单位向量,下列命题中:
①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·
a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;
若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
[类题通法]
平面向量有关概念的核心
(1)向量定义的核心是方向和长度.
(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.
(5)零向量的核心是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.
|(重点保分型考点——师生共研)
1.向量的加法
定义:
求两个向量和的运算.
运算法则(几何意义):
如图
运算律:
(1)交换律:
a+b=b+a;
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
2.向量的减法
向量a加上向量b的相反向量,叫做a与b的差,即a+(-b)=a-b.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
3.向量的数乘
实数λ与向量a的积运算,即λa.
如图,λa的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ|·
|a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;
当λ<0时,λa与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0.
λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb.
[提醒]
(1)实数和向量可以求积,但不能求和或求差;
(2)λ=0或a=0⇔λa=0.
[典题例析]
1.(2014·
新课标全国卷Ⅰ)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A.B.
C.D.
选A +=(+)+(+)=
(+)=,故选A.
2.(2013·
江苏高考)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
=+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.
1.向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则.
(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
2.两个结论
(1)P为线段AB的中点⇔=(+);
(2)G为△ABC的重心⇔++=0.
[演练冲关]
1.(2015·
聊城二模)在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=( )
A.b+c B.c-b
C.b-cD.b+c
选A 如图,可知=+=+(-)=c+(b-c)=b+c.故选A.
2.若典例2条件变为:
若=2,=+λ,则λ=________.
∵=+,=+,
∴2=+++.
又∵=2,
∴2=++
=++(-)
=+.
∴=+,即λ=.
|(题点多变型考点——全面发掘)
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的一个实数λ,使得b=λa.
[提醒] 限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.
[一题多变]
[典型母题]
设两个非零向量e1和e2不共线.如果=e1+e2,=2e1-3e2,=3e1-ke2,且A,C,F三点共线,求k的值.
[解] ∵=e1+e2,=2e1-3e2,
∴=+=3e1-2e2.
∵A,C,F三点共线,
∴∥,从而存在实数λ,使得=λ.
∴3e1-2e2=3λe1-λke2,
又e1,e2是不共线的非零向量,
∴因此k=2.∴实数k的值为2.
[题点发散1] 在本例条件下,试确定实数k,使ke1+e2与e1+ke2共线.
∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),
即ke1+e2=λe1+λke2,
∴解得k=±
1.
[题点发散2] 在本例条件下,如果=e1-e2,=3e1+2e2,=-8e1-2e2,求证:
A,C,D三点共线.
证明:
∵=e1-e2,=3e1+2e2,
∴=+=4e1+e2,又=-8e1-2e2,
∴=-2,∴与共线.
又∵与有公共点C,∴A,C,D三点共线.
1.共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.
(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.
2.证明三点共线的方法
若=λ,则A,B,C三点共线.
一、选择题
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
③λa=0(λ为实数),则λ必为零.
④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
选C ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.
②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.
③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.
④错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.
2.已知向量a,b,c中任意两个都不共线,但a+b与c共线,且b+c与a共线,则向量a+b+c=( )
A.a B.b
C.cD.0
选D 依题意,设a+b=mc,b+c=na,则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na.又a与c不共线,于是有m=-1,n=-1,a+b=-c,a+b+c=0,选D.
3.(2015·
福建四地六校联考)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2+,则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
选B 因为2=2+,所以2=,所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B.
4.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
选A 由题意得=+=+,
=+=+,
因此++=+(+-)
=+=-,
故++与反向平行.
5.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,n∈R),则的值为( )
A.-2B.-
C.2D.
选A 设=a,=b,则=ma+nb,=-=b-a,由向量与共线可知存在实数λ,使得=λ,即ma+nb=λb-λa,又a与b不共线,则,所以=-2.
6.设O在△ABC的内部,D为AB的中点,且++2=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A.3B.4
C.5D.6
选B ∵D为AB的中点,
则=(+),
又++2=0,
∴=-,∴O为CD的中点,
又∵D为AB中点,
∴S△AOC=S△ADC=S△ABC,
则=4.
二、填空题
7.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,则||=________.
由|+|=|-|可知,⊥,
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,
因此,||=||=2.
2
8.(2015·
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