专题04 导数与函数的单调性三年高考数学文真题分项版解析解析版Word格式文档下载.docx
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【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性,不等式的恒成立,属于中档题,深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键,注意不等式的恒成立的处理时端点值能否取到认真判断.
4.【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是()
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
试题分析:
对恒成立,
故,即恒成立,
即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得.故选C.
考点:
三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.
5.【2014湖南文9】若,则()
A.B.
C.D.
【考点定位】导数单调性
【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质,解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数,利用函数的性质分析其单调性,对选项作出判断.
6.【2017课标1,文21】已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】
(1)当,在单调递增;
当,在单调递减,在单调递增;
(2).
(1)分,,分别讨论函数的单调性;
(2)分,,分别解,从而确定a的取值范围.
试题解析:
(1)函数的定义域为,,
①若,则,在单调递增.
②若,则由得.
当时,;
当时,,所以在单调递减,在单调递增.
③若,则由得.
当时,,故在单调递减,在单调递增.
(2)①若,则,所以.
②若,则由
(1)得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.
③若,则由
(1)得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时.
综上,的取值范围为.
【考点】导数应用
【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用:
(一)函数单调性的讨论:
运用导数知识来讨论函数单调性时,首先考虑函数的定义域,再求出,有的正负,得出函数的单调区间;
(二)函数的最值(极值)的求法:
由确认的单调区间,结合极值点的定义及自变量的取值范围,得出函数极值或最值.
7.【2017课标,文21】设函数.
(2)当时,,求的取值范围.
(Ⅰ)在和单调递减,在单调递增(Ⅱ)
.
(1)
令得
当时,
所以在和单调递减,在单调递增
(2)
当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h’(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,
故h(x)≤1,所以
f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1
当0<a<1时,设函数g(x)=ex-x-1,g’(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1
当0<x<1,,,取
则
当时,取
综上,a的取值范围[1,+∞)
【考点】利用导数求函数单调区间,利用导数研究不等式恒成立
【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;
也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
8.【2017课标3,文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x.
(2)当a﹤0时,证明.
(1)当时,在单调递增;
当时,则在单调递增,在单调递减;
(2)详见解析
(1),
当时,,则在单调递增,
当时,则在单调递增,在单调递减.
(2)由
(1)知,当时,,
,令(),
则,解得,
∴在单调递增,在单调递减,
∴,∴,即,∴.
【考点】利用导数求单调性,利用导数证不等式
【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略
(1)构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.
(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
9.【2017天津,文19】设,.已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:
在处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.
(Ⅰ)递增区间为,,递减区间为.
(2)(ⅰ)在处的导数等于0.(ⅱ)的取值范围是.
在上恒成立,得,,再根据导数求函数的取值范围.
(I)由,可得
,
令,解得,或.由,得.
当变化时,,的变化情况如下表:
所以,的单调递增区间为,,单调递减区间为.
(II)(i)因为,由题意知,
所以,解得.
所以,在处的导数等于0.
(ii)因为,,由,可得.
又因为,,故为的极大值点,由(I)知.
另一方面,由于,故,
由(I)知在内单调递增,在内单调递减,
故当时,在上恒成立,从而在上恒成立.
由,得,.
令,,所以,
令,解得(舍去),或.
因为,,,故的值域为.
所以,的取值范围是.
【考点】1.导数的几何意义;
2.导数求函数的单调区间;
3.导数的综合应用.
【名师点睛】本题本题考点为导数的应用,本题属于中等问题,第一问求导后要会分解因式,并且根据条件能判断两个极值点的大小关系,避免讨论,第二问导数的几何意义,要注意切点是公共点,切点处的导数相等的条件,前两问比较容易入手,但第三问,需分析出,同时根据单调性判断函数的最值,涉及造函数解题较难,这一问思维巧妙,有选拔优秀学生的功能.
10.【2014山东.文20】
(本题满分13分)
设函数
(1)若,求曲线处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.
(1).
(2)当时,函数在上单调递增;
当时,函数在上单调递减;
当时,在,上单调递减,
在上单调递增.
性.其中时,情况较为单一,,函数在上单调递增,
当时,令,
由于,再分,,等情况加以讨论.
(1)由题意知时,,
此时,
可得,又,
所以曲线在处的切线方程为.
(2)函数的定义域为,
当时,,函数在上单调递增,
由于,
1当时,,
,函数在上单调递减,
2当时,,
3当时,,
设是函数的两个零点,
则,,
由,
所以时,,函数单调递减,
时,,函数单调递增,
时,,函数单调递减,
综上可知,当时,函数在上单调递增;
导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性,分类讨论思想.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难是(II)利用分类讨论思想,结合函数零点,确定函数的单调性.
本题是一道能力题,属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等基础知识、基本方法的同时,考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力,考查转化与化归思想及分类讨论思想.
11.[2016高考新课标Ⅲ文数]设函数.
(I)讨论的单调性;
()证明当时,;
()设,证明当时,.
(Ⅰ)当时,单调递增;
当时,单调递减;
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)见解析.
(Ⅰ)由题设,的定义域为,,令,解得.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在处取得最大值,最大值为,
所以当时,,
故当时,,,即.………………7分
(Ⅲ)由题设,设,则.
令,解得.
当时,,单调递减.……………9分
由(Ⅱ)知,,故.又,故当时,,
所以当时,.………………12分
1、利用导数研究函数的单调性;
2、不等式的证明与解法.
【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑:
(1)首先通过利用研究函数的单调性,再利用单调性进行证明;
(2)根据不等式结构构造新函数,通过求导研究新函数的单调性或最值来证明.
12.【2016高考天津文数】
((本小题满分14分)
设函数,,其中
(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:
;
(Ⅲ)设,函数,求证:
在区间上的最大值不小于.
(Ⅰ)递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
,当时,,③当时,.
(1)解:
由,可得,下面分两种情况讨论:
当时,有恒成立,所以的单调增区间为.
当时,令,解得或.
当变化时,、的变化情况如下表:
单调递增
极大值
单调递减
极小值
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(2)证明:
因为存在极值点,所以由
(1)知且.
由题意得,即,
进而,
又,且,
由题意及
(1)知,存在唯一实数满足,且,因此,
所以.
(3)证明:
设在区间上的最大值为,表示,两数的最大值,下面分三种情况讨论:
当时,,由
(1)知在区间上单调递减,
所以在区间上的取值范围为,因此,
当时,,
由
(1)和
(2)知,,
所以在区间上的取值范围为,
所以
③当时,,由
(1)和
(2)知,
,,
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】
1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先);
(2)求导函数f′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集.
(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时,可分类讨论求得单调区间.
2.由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,要注
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