山东省枣庄三中学年高二年级份质量检测考试数学试题文档格式.docx
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C.D.
7.如图,在棱长为a的正方体中,P为的中点,Q为上任意一点,E,F为上两个动点,且的长为定值,则点Q到平面的距离()
A.等于B.和的长度有关
C.等于D.和点Q的位置有关
8.已知平面上一点若直线l上存在点P使则称该直线为点的“相关直线”,下列直线中不是点的“相关直线”的是()
二、多选题
9.下列关于空间向量的命题中,正确的有()
A.若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则;
B.若非零向量,,满足,,则有;
C.若,,是空间的一组基底,且,则,,,四点共面;
D.若向量,,,是空间一组基底,则,,也是空间的一组基底.
10.下列说法错误的是()
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件;
B.直线与直线互相平行,则;
C.过两点的所有直线的方程为;
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为.
11.(多选题)如图,在菱形中,,,将沿对角线翻折到位置,连结,则在翻折过程中,下列说法正确的是()
A.与平面所成的最大角为
B.存在某个位置,使得
C.当二面角的大小为时,
D.存在某个位置,使得到平面的距离为
12.如图,在棱长为2的正方体中,下列结论正确的有()
A.二面角的大小为
B.异面直线与所成的角为
C.到平面的距离为
D.直线与平面所成的角为
三、填空题
13.在空间直角坐标系中,点在平面上的射影为点,在平面上的射影为点,则__________.
14.经过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为_____.
15.过两直线和的交点,并且与原点的最短距离为的直线的方程为________.
16.在空间直角坐标系中,定义:
平面的一般方程为,点到平面的距离,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于________.
四、解答题
17.已知Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(-1,-),顶点C在x轴上.
(1)求点C的坐标;
(2)求斜边上的中线的方程.
18.已知平行六面体,,,,,设,,;
(1)试用、、表示;
(2)求的长度;
19.已知的顶点,边上的高所在的直线的方程为,角A的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程;
(2)求直线的方程.
20.如图,在直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,M是侧棱上一点,设.
(1)若,求异面直线与所成角的大小;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若,求点M到平面的距离.
21.已知直线经过点.
(1)若原点到直线的距离为2,求直线的方程;
(2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分,求直线的方程.
22.如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面,,.
(1)求证:
为的中点;
(2)求二面角的大小;
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1.B
【分析】
根据向量共线的充要条件得到关于x,y的关系式,解方程可得所求.
【详解】
∵=(2,-3,5)与=(4,x,y)平行,
∴,
解得.
故选B.
【点睛】
解答本题的关键是根据向量共线的充要条件得到比例式,然后通过解方程求解,考查基本知识的运用,属于容易题.
2.B
根据题中条件,先得出直线过点,由倾斜角得出斜率,进而可得出结果.
因为直线的倾斜角为,在x轴上的截距为2,
所以该直线的斜率为,且该直线过点,
所以该直线的方程为.
故选:
B.
本题主要考查求直线的方程,属于基础题型.
3.A
根据题意,由正四面体的性质可得:
,可得,由E是棱中点,可得,代入,利用数量积运算性质即可得出.
如图所示
由正四面体的性质可得:
可得:
是棱中点
本题考查空间向量的线性运算,考查立体几何中的垂直关系,考查转化与化归思想,属于中等题型.
4.C
由,可求得,再由,利用基本不等式求出最小值即可.
因为,所以,即,
因为,,所以,当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为8.
C.
本题考查垂直直线的性质,考查利用基本不等式求最值,考查学生的计算求解能力,属于中档题.
5.B
直线过定点,求出直线PQ、MQ的斜率,数形结合可求得直线斜率的取值范围.
直线过定点,作出图像如下图所示:
,,直线的斜率为,
若直线与线段的延长线相交(不含Q点),则,即.
B
本题考查直线的斜率,属于基础题.
6.D
把直线的方程化为斜截式,求出斜率解析式,设出倾斜角,通过斜率的取值范围得到倾斜角的范围.
直线,即,斜率为,,
因,设直线的倾斜角为,则,,
所以.
D.
本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小,属于基础题.
7.A
取的中点G,连接,利用线面平行判断出选项B,D错误;
建立空间直角坐标系,利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离,从而得出结论.
取的中点G,连接,则,所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离,与的长度无关,B错.又平面,所以点到平面的距离即点Q到平面的距离,即点Q到平面的距离,与点Q的位置无关,D错.
如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则,∴,,,
设是平面的法向量,则由得
令,则,所以是平面的一个法向量.
设点Q到平面的距离为d,则,A对,C错.
A.
本题主要考查点到直线的距离,意在考查学生的数学抽象的学科素养,属中档题.
8.D
分别计算点到四条直线的距离,结合点相关直线的定义得:
当距离小于或等于4时,则称该直线为点的“相关直线”,利用点到直线距离公式即可得到答案.
由题意,当到直线的距离小于或等于4时,则称该直线为点的“相关直线”
A,,直线为,所以点到直线的距离为:
,即点到直线的最小值距离小于4,所以直线上存在点使成立,是点的“相关直线”;
B,,直线为,所以点到直线的距离为,所以点到直线的最小值距离小于4,所以直线上存在点使成立,是点的“相关直线”;
C,,直线为,所以点到直线的距离为:
,所以点到直线的最小值距离等于4,所以直线上存在点使成立,是点的“相关直线”;
D,,直线为,所以点到直线的距离为:
,即点到直线的最小值距离大于4,所以直线上不存在点使成立,不是点的“相关直线”.
D.
本题解决成立问题的关键是正确理解新定义,结合点到直线的距离公式解决问题,新定义问题这是近几年高考命题的方向.属于中档题.
9.ACD
根据空间向量基本定理,能作为基底的向量一定是不共面的向量,由此分别分析选择.
解:
对于A:
若向量,与空间任意向量都不能构成基底,只能两个向量为共线向量,即,故A正确;
对于B:
若非零向量,,满足,,则与不一定共线,故B错误;
对于C:
若,,是空间的一组基底,且,
则,即,
可得到,,,四点共面,故C正确;
对于D:
若向量,,,是空间一组基底,
则空间任意一个向量,存在唯一实数组,
使,
则,,也是空间的一组基底.
ACD.
本题主要考查空间向量基本定理,属于基础题型.
10.ABCD
直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系,直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定、、、的结论.
对于:
当时,“直线与直线互相垂直”,
当直线与直线互相垂直时,即解得或,
故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件,故错误.
直线与直线互相平行,所以解得或,经检验或都成立;
故错误;
过,,,(且,两点的所有直线的方程为,故错误.
经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为:
故①:
经过原点的直线为,②设在坐标轴上的截距为,设直线方程为所以,解得,故,故错误.
.
本题考查的知识要点:
直线的方程,直线垂直的充要条件,直线的倾斜角和斜率之间的关系,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.
11.BC
本题首先可根据当时与平面所成角的值得出A错误,然后通过证明平面判断出B正确,再然后根据二面角的大小为得出,通过得出,C正确,最后根据判断出D错误.
如图所示:
A项:
取的中点,连结、,
因为四边形是菱形,是线段的中点,
所以,
平面,平面,
所以平面,所以平面,
所以在平面的射影为,
即与平面所成角,
,三角形是等腰三角形,
当时,与平面所成角为,故A错误;
B项:
当时,取的中点,
可得,,故平面,,故B正确;
C项:
所以,,
因为是平面与平面的交线,
所以即平面与平面所成角,
因为二面角的大小为,所以,
因为,所以,故C正确;
D项:
因为,所以如果到平面的距离为,
则平面,,,,
,则,显然不可能,故D错误,
BC.
本题考查空间几何的相关问题,主要考查线面角、面面角、线面垂直的证明与性质以及点到平面的距离,考查数形结合思想,考查推理能力,是中档题.
12.ACD
对于A,推导了出二面角的平面角为,由此能判断A的正误;
对于B,异面直线与CD所成的角为,由此能判断B的正误;
对于C,到平面的距离为,由此能判断C的正误;
对于D,连结,交于点O,取中点E,连结OE,,推导出是直线与平面所成的角,由此能求出直线与平面所成的角的大小.
在棱长为2的正方体中,
对于A,∵,,
∴是二面角的平面角,
∵,且,
∴二面角的大小为,故A正确;
对于B,∵,
∴是异面直线与CD所成的角(或所成角的补角),
∵四边形是正方形,∴,
∴异面直线与CD所成的角为,故B错误;
对于C,连结,交于点O,取中点E,连结OE,,
由题意得,,
又,∴平面,
∴到平面的距离为,故C正确;
对于D,连结,交于点O,取中点E,连结OE,,
∴是直线与平面所成的角,
∵,
∴直线与平面所成的角为,故D正确,
本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
13.
【解析】
因为点在平面上的射影为点,在平面上的射影为点,所以由两点间距离公式可得,故答案为.
14.x+2y﹣4=0;
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