一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案Word格式.docx

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ax2＋bx＋c＞0

（a＞0）的解集

①　　　　　

②　　　　　

R

ax2＋bx＋c＜0

{x|x1＜x＜x2}

∅

③　　　　

3.分式不等式解法

（1）化分式不等式为标准型.方法：

移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.

（2）将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

⇔f（x）g（x）＞0；

＜0⇔f（x）g（x）＜0；

≥0⇔≤0⇔

（）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝（　　）

A.[－2，－1]B.[－1，2）

C.[－1，1]D.[1，2）

解：

∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.

设f（x）＝x2＋bx＋1且f（－1）＝f（3），则f（x）>

0的解集为（　　）

A.{x|x∈R}B.{x|x≠1，x∈R}

C.{x|x≥1}D.{x|x≤1}

f（－1）＝1－b＋1＝2－b，f（3）＝9＋3b＋1＝10＋3b，

由f（－1）＝f（3），得2－b＝10＋3b，

解出b＝－2，代入原函数，f（x）>

0即x2－2x＋1>

0，x的取值范围是x≠1.故选B.

已知－<

<

2，则x的取值范围是（　　）

A.－2<

x<

0或0<

B.－<

2

C.x<

－或x>

2D.x<

－2或x>

当x>

0时，x>

；

当x<

0时，x<

－2.

所以x的取值范围是x<

，故选D.

不等式＞0的解集是.

不等式>

0等价于（1－2x）（x＋1）＞0，

也就是（x＋1）＜0，所以－1＜x＜.

故填.

（）若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________.

显然k≠0.若k＞0，则只须（2x2＋x）max＜，解得k∈∅；

若k＜0，则只须＜（2x2＋x）min，解得k∈（－3，0）.故k的取值范围是（－3，0）.故填（－3，0）.

类型一　一元一次不等式的解法

　已知关于x的不等式（a＋b）x＋2a－3b＜0的解集为，求关于x的不等式（a－3b）x＋b－2a＞0的解集.

由（a＋b）x＜3b－2a的解集为，

得a＋b＞0，且＝－，

从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0，

将a＝2b代入（a－3b）x＋b－2a＞0，

得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集为（－∞，－3）.

点拨：

一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b（a≠0）的形式.挖掘隐含条件a＋b＞0且＝－是解本题的关键.

　解关于x的不等式：

（m2－4）x＜m＋2.

（1）当m2－4＝0即m＝－2或m＝2时，

①当m＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合

②当m＝2时，原不等式的解集为R,符合

（2）当m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜.

（3）当m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞.

类型二　一元二次不等式的解法

　解下列不等式：

（1）x2－7x＋12＞0;

（2）－x2－2x＋3≥0；

（3）x2－2x＋1＜0;

（4）x2－2x＋2＞0.

（1）{x|x＜3或x＞4}.

（2）{x|－3≤x≤1}.

（3）∅.

（4）因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R.

　（）已知函数f（x）＝则不等式x＋（x＋1）f（x＋1）≤1的解集是（　　）

A.{x|－1≤x≤－1}B.{x|x≤1}

C.{x|x≤－1}D.{x|－－1≤x≤－1}

由题意得不等式x＋（x＋1）f（x＋1）≤1等价于①

或

②

解不等式组①得x＜－1；

解不等式组②得－1≤x≤－1.

故原不等式的解集是{x|x≤－1}.故选C.

类型三　二次不等式、二次函数及二次方程的关系

　已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值.

∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，

∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，

∴由韦达定理知∴

　已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集.

∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，

∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得

　即

代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>

0（a＜0）.

即6x2＋5x＋1＜0，

∴所求不等式的解集为.

类型四　含有参数的一元二次不等式

mx2－（m＋1）x＋1＜0.

（1）m＝0时，不等式为－（x－1）＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}；

（2）当m≠0时，不等式为m（x－1）＜0.

①当m＜0，不等式为（x－1）＞0，

∵＜1，∴不等式的解集为.

②当m＞0，不等式为（x－1）＜0.

（Ⅰ）若＜1即m＞1时，不等式的解集为；

（Ⅱ）若＞1即0＜m＜1时，不等式的解集为；

（Ⅲ）若＝1即m＝1时，不等式的解集为∅.

当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；

第二层次：

x2的系数正负（不等号方向）的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；

第三层次：

与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论.

　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a∈R）.

不等式整理为ax2＋（a－2）x－2≥0，

当a＝0时，解集为（－∞，－1].

当a≠0时，ax2＋（a－2）x－2＝0的两根为－1，，所以当a＞0时，

解集为（－∞，－1]∪；

当－2＜a＜0时，解集为；

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a＜－2时，解集为.

类型五　分式不等式的解法

（1）解不等式≤1.

≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔≥0.

≥0⇔

得{xx＞－或x≤－2}.

※

（2）不等式＞0的解集是.

＞0⇔＞0⇔

（x－2）（x＋2）（x＋1）＞0，

数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}，

故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}.

分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：

（1）移项：

使得右端为0（注意：

一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数）.

（2）求根：

就是求出不等式所对应的方程的所有根..（3）标根：

在数轴上按从左到右（由小到大）依次标出各根（不需标出准确位置，只需标出相对位置即可）.（4）画穿根线：

从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.（5）写出不等式的解集：

若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；

若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；

若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.

（1）若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝（　　）

A.{x|－1≤x＜0}B.{x|0＜x≤1}

C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1}

易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式组的解集，求出B＝，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}.故选B.

（2）不等式≤0的解集为（　　）

A.B.

C.∪[1，＋∞）D.∪[1，＋∞）

≤0⇔

得－<

x≤1.故选A.

类型六　和一元二次不等式有关的恒成立问题

（1）若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的最小值为（　　）

A.0B.－2C.－D.－3

不等式可化为ax≥－x2－1，由于x∈，

∴a≥－.∵f（x）＝在上是减函数，

∴＝－.∴a≥－.

（2）已知对于任意的a∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是（　　）

A.1＜x＜3B.x＜1或x＞3

C.1＜x＜2D.x＜1或x＞2

记g（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]，

依题意，只须⇒⇒x＜1或x＞3，故选B.

对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；

变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围.

　对于满足|a|≤2的所有实数a，求使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围.

原不等式转化为（x－1）a＋x2－2x＋1＞0，设f（a）＝（x－1）a＋x2－2x＋1，则f（a）在[－2，2]上恒大于0，故有：

即解得

∴x＜－1或x＞3.

类型七　二次方程根的讨论

　若方程2ax2－x－1＝0在（0，1）内有且仅有一解，则a的取值范围是（　　）

A.a<

－1B.a>

1

C.－1<

a<

1D.0≤a<

解法一：

令f（x）＝2ax2－x－1，则f（0）·

f

（1）＜0，即－1×

（2a－2）＜0，解得a＞1.

解法二：

当a＝0时，x＝－1，不合题意，故排除C，D；

当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.故选B.

1.不等式≤0的解集是（　　）

A.（－∞，－1）∪（－1，2]B.[－1，2]

C.（－∞，－1）∪[2，＋∞）D.（－1，2]

≤0⇔≤0，且x≠－1，即x∈（－1，2]，故选D.

2.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是（　　）

A.m＞0B.0＜m＜2

C.m＞D.m<

由不等式的解集形式知m＜0.故选D.

3.（）已知一元二次不等式f（x）<

0的解集为，则f（10x）>

A.{x|x<

－1或x>

lg2}B.{x|－1<

lg2}

C.{x|x>

－lg2}D.{x|x<

－lg2}

可设f（x）＝a（x＋1）（a<

0），由f（10x）>

0可得（10x＋1）<

0，从而10x<

，解得x<

－lg2，故选D.

4.（）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），

则其边长x（单位：

m）的取值范围是（　　）

A.[15，20]B.[12，25]

C.[10，30]D.[20，30]

设矩形的另一边为ym，依题意得＝，即y＝40－x，

所以x（40－x）≥300，解得10≤x≤30.故选C.

5.若关于x的不等式2x2－8x－4－a>

0在（1，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

－12B.a>

－4

C.a>

－12D.a<

解