三年模拟一年创新届高考数学复习 第八章 第七节 空间角与距离 理全国通用Word下载.docx

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石家庄调研）设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是（　　）

解析　如图，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2），A1（2，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），

∴＝（2，0，0），＝（2，0，2），＝（2，2，0），

设平面A1BD的法向量n＝（x，y，z），

则令x＝1，则n＝（1，－1，－1）．

∴点D1到平面A1BD的距离

d＝＝＝.

答案　D

4．（2014·

江西南昌质检）二面角αlβ等于120°

，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于（　　）

A.B.C．2D.

解析　如图，∵二面角αlβ等于120°

，

∴与夹角为60°

由题设知，⊥，

⊥，||＝||＝||＝1，

||2＝|＋＋|2

＝||2＋||2＋||2＋2·

＋2·

＝3＋2×

cos60°

＝4，∴||＝2.

答案　C

二、填空题

5．（2015·

青岛模拟）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．

解析　以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设n＝（x，y，z）为平面A1BC1的法向量，

则n·

＝0，n·

＝0，

即令z＝2，则y＝1，x＝2，

于是n＝（2，1，2），＝（0，2，0），

sinα＝|cos〈n，〉|＝.

答案　

一年创新演练

6．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________．

解析　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则＝（0，0，2），由题意可求得平面GEF的一个法向量为n＝（1，1，3），所以点C到平面GEF的距离为d＝＝.

7．如图，三棱锥PABC中，PA＝PB＝PC＝，CA＝CB＝

，AC⊥BC.

（1）求点B到平面PAC的距离；

（2）求二面角CPAB的余弦值．

解　取AB中点O，连接OP，CO，

∵CA＝CB＝，∠ACB＝90°

∴CO⊥AB，且AB＝2，CO＝1.

∵PA＝PB＝，∴PO⊥AB，且PO＝＝.∴PO2＋OC2＝3＝PC2，

∴∠POC＝90°

，即PO⊥OC.

∴OA，OC，OP两两垂直．

如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A（1，0，0），B（－1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，）．

（1）设平面PAC的一个法向量为n＝（x，y，1），则

∵＝（－1，1，0），＝（1，0，－），

∴，∴x＝y＝，

∴n＝（，，1）．∵＝（－2，0，0），

∴点B到平面PAC的距离为

（2）＝（0，1，0）是平面PAB的一个法向量，cos〈n，〉＝＝.

综合图形可见，二面角CPAB的大小为锐角，

∴二面角CPAB的余弦值为.

B组　专项提升测试

8．（2014·

宁夏银川调研考试）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）

　A.B.C.D.

解析　法一　取A1C1的中点E，连接AE、B1E.

由题易知B1E⊥平面ACC1A1，

则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角．令正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sin∠B1AE＝＝＝，故选A.

法二　如上图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则

A（，0，1），B1（0，，0），设AB1与面ACC1A1所成角为θ，

则sinθ＝|cos〈，〉|

＝＝.

9．（2014·

江苏徐州一模）将锐角A为60°

，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°

的二面角，则A与C之间的距离为________．

解析　设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.

∴BD⊥CE，BD⊥A1E.

∴∠A1EC为二面角A1BDC的平面角．

∴∠A1EC＝60°

，又A1E＝CE，

∴△A1EC是等边三角形．

∴A1E＝CE＝A1C＝a.

即折叠后点A与C之间的距离为a.

答案　a

三、解答题

10.（2014·

南京模拟）如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点．

（1）求证：

MN⊥AB；

（2）求二面角SNDA的余弦值；

（3）求点A到平面SND的距离．

解　以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图）．

（1）证明　由题意得A（0，4，0），B（0，0，0），M（1，2，1），N（0，2，0），S（0，4，2），D（1，0，0）．

所以：

＝（－1，0，－1），＝（0，－4，0），·

＝0，∴MN⊥AB.

（2）设平面SND的一个法向量为m＝（x，y，z），

则：

m·

＝0，且m·

＝0.

∵＝（0，－2，－2），＝（－1，2，0），

∴即

令z＝1，得：

x＝－2，y＝－1，

∴m＝（－2，－1，1）．

又平面AND的法向量为n＝（0，0，1），cos〈m，n〉＝＝.

由题图易知二面角SNDA为锐角，故其余弦值为.

（3）∵＝（0，－2，0），

∴点A到平面SND的距离

d＝＝.

11．（2015·

广东六校联盟模拟）如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t（0<

t<

2），连接A1B，A1C，A1D.

（1）当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的值；

（2）线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由．

解　法一　

（1）根据题意，长方体体积为V＝t（2－t）×

1＝t（2－t）≤＝1，

当且仅当t＝2－t，即t＝1时体积V有最大值为1，

所以当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，

作BM⊥A1C于M，连接DM，BD，

因为四边形ABCD为正方形，所以△A1BC与△A1DC全等，故DM⊥A1C，所以∠BMD即为所求二面角的平面角．

因为BC⊥平面AA1B1B，所以△A1BC为直角三角形，

又A1B＝，A1C＝，所以BM＝＝＝，同理可得，DM＝，

在△BMD中，根据余弦定理有：

cos∠BMD＝＝－，

因为∠BMD∈（0°

，180°

），所以∠BMD＝120°

即此时二面角B－A1C－D的值是120°

（2）若线段A1C上存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，则A1C⊥BD

又A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，所以BD⊥平面A1AC.所以BD⊥AC，

底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在．由

（1）知，所求点P即为BM⊥A1C的垂足M，

此时，A1P＝＝＝.

法二　根据题意可知，AA1，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：

（1）长方体体积为V＝t（2－t）×

当且仅当t＝2－t，即t＝1时体积V有最大值为1.

所以当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，则A1（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），＝（1，0，－1），＝（0，1，0），

设平面A1BC的法向量m＝（x，y，z），则

取x＝z＝1，得：

m＝（1，0，1），

同理可得平面A1CD的法向量n＝（0，1，1），

所以，cos〈m，n〉＝＝，

又二面角B－A1C－D为钝角，故值是120°

（也可以通过证明B1A⊥平面A1BC写出平面A1BC的法向量）

（2）根据题意有B（t，0，0），C（t，2－t，0），D（0，2－t，0），若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨＝λ（λ＞0），可得P（λt，λ（2－t），1－λ）

＝（λt－t，λ（2－t），1－λ），

＝（－t，2－t，0），

即：

解得：

t＝1，λ＝.

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1P∶PC＝2∶1处．

12．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝30°

，∠B＝90°

，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，折起后∠AEF＝θ.

平面AEF⊥平面BCD；

（2）cosθ为何值时，AB⊥CD?

（1）证明　在Rt△ABC中，∠C＝30°

，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形．

又E是BD的中点，故BD⊥AE，BD⊥EF，

折起后，AE∩EF＝E，

∴BD⊥平面AEF.∵BD⊂平面BCD，

∴平面AEF⊥平面BCD.

（2）解　如图所示，过A作AP⊥平面BCD于P，

则P在FE的延长线上．

设BP与CD相交于Q，令AB＝1，

则△ABD是边长为1的等边三角形．

若AB⊥CD，又AP⊥CD，则CD⊥平面ABP，PQ⊂平面ABP，

则BQ⊥CD.

在Rt△CBQ中，由于∠C＝30°

，故∠CBQ＝60°

又∠CBD＝30°

，故∠EBP＝30°

在Rt△EBP中，PE＝BE·

tan30°

＝×

＝.

又AE＝，故cos∠AEP＝＝.

折起后有cosθ＝cos（π－∠AEP）＝－.

故当cosθ＝－时，AB⊥CD.

13.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AA1＋AB＋AC＝3，AB＝AC＝t（t>

0），P是侧棱AA1上的动点．

（1）当AA1＝AB＝AC时，求证：

A1C⊥平面ABC1；

（2）试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值；

（3）若二面角ABC1C的平面角的余弦值为，试求实数t的值．

（1）证明　连接A1C.

∵AA1⊥平面ABC，AB、AC⊂平面ABC，

∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.

又AB⊥AC，

∴以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0，0，0），C1（0，1，1），

B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），＝（0，1，－1），＝（0，1，1），＝（1，0，0）．

设平面ABC1的法向量n＝（x，y，z），

则解得

令z＝1，则n＝（0，－1，1）．

∵＝－n，∴A1C⊥平面ABC1.

（2）解　∵AA1∥平面BB1C1C，

∴点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C