高数期中模拟题Word格式文档下载.docx
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(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;
(D)振荡间断点。
6、以下各项中和相同的是()
(A),;
(B),;
(C),;
(D),。
7、=()
(A)1;
(B)-1;
(C)0;
(D)不存在。
8、()
(B)-1;
(C);
(D)。
9、在的某一去心邻域内有界是存在的()
(A)充分必要条件;
(B)充分条件;
(C)必要条件;
(D)既不充分也不必要条件.
10、()
(A)1;
(B)2;
(C);
(D)0。
11、设均为非负数列,且,则必有()
(A)对任意成立;
(B)对任意成立;
(C)极限不存在;
(D)极限不存在。
12、当时,函数的极限()
(A)等于2;
(B)等于0;
(C)为;
(D)不存在但不为。
三、计算解答
1、计算下列极限
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)。
3、试确定之值,使。
4、利用极限存在准则求极限
(1)。
(2)设,且,证明存在,并求此极限值。
5、讨论函数的连续性,若有间断点,指出其类型。
6、设在上连续,且,证明在内至少有一点,使。
第一单元函数与极限测试题详细解答
1、。
,
。
3、高阶。
是的高阶无穷小。
4、。
为有界函数,所以要使,只要,即。
5、。
。
6、。
,,
7、。
8、根据题意要求,所以。
9、,,
,的反函数为。
10、原式=。
11、由与,以及
,
可得。
12、由反三角函数的定义域要求可得
解不等式组可得,的定义域为。
13、
。
14、
15、2
1、选(D)令,由是上的偶函数,是上的奇函数,。
2、选(C)
3、选(A)
4、选(B)
5、选(C),,
6、选(C)在(A)中的定义域为,而的定义域为,故不正确
在(B)的值域为,的值域为,故错
在(C)中的定义域为R,的定义域为
,,故错
7、选(D),
不存在
8、选(D),
9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知,存在,则必有的某一去心邻域使有界,而在的某一去心邻域有界不一定有存在,例如,函数有界,但在点极限不存在
10、选(C)
(
11、选(D)(A)、(B)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当充分大时”的情况,不可能得出“对任意成立”的性质。
(C)也明显不对,因为“无穷小·
无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在。
12、选(D)
当时函数没有极限,也不是。
1、计算下列极限:
(1)解:
(2)解:
(3)解:
(4)解:
(5)解:
(6)解:
(7)解:
(8)解:
3、解:
4、
(1).
而。
(2)先证有界(数学归纳法)
时,
设时,,则
数列有下界,
再证单调减,
且
即单调减,存在,设,
则有(舍)或,
5、解:
先求极限得
而
的连续区间为
为跳跃间断点.。
6、解:
令,则在上连续
而
由零点定理,使
即,亦即。
第二单元导数与微分
1、已知,则=。
2、存在,有,则=。
3、,则=。
4、二阶可导,,则=;
=。
5、曲线在点处切线与连接曲线上两点的弦平行。
6、,则=。
7、,则=,=。
8、若,则=。
9、曲线于点_________处的切线斜率为2。
10、设,则。
11、设函数由方程确定,则。
12、设则。
二、单项选择
1、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为,则=()。
(D)。
3、函数,且,则()。
(A);
(B);
4、已知为可导的偶函数,且,则曲线在处切线的方程是。
(D)。
5、设可导,则=。
6、函数有任意阶导数,且,则=。
7、若,则=()
8、设函数在点处存在和,则是导数存在的()
(A)必要非充分条件;
(B)充分非必要条件;
(C)充分必要条件;
(D)既非充分又非必要条件。
9、设则()
10、若可导,且,则有()
11、设函数连续,且,则存在,使得()
(A)在内单调增加;
(B)在内单调减少;
(C)对任意的有;
(D)对任意的有。
12、设在处可导,则()
(A);
(B)为任意常数;
(C);
(C)为任意常数。
1、计算下列各题
(1),求;
(2),求;
(3),;
(4),求;
(5),求;
(6),求;
(7),在处有连续的一阶导数,求;
(8)设在处有连续的一阶导数,且,求。
2、试确定常数之值,使函数处处可导。
3、证明曲线与(为常数)在交点处切线相互垂直。
4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数对任意实数有,且,证明。
6、求曲线上过点处的切线方程和法线方程。
第二单元导数与微分测试题详细解答
1、
2、
3、
4、,
5、弦的斜率
,当时,。
6、
7、,
8、
9、,由,
在点处的切线斜率为2
10、2,
11、方程两边对求导得
解得。
12、由参数式求导公式得,
再对求导,由复合函数求导法得
1、选(D)由交点为,,
3、选(C)
由得
4、选(A)由
切线方程为:
即
5、选(D)
6、选(B)
设,则
7、选(C)
又,
8、选(C)在处可导的充分必要条件是在点的左导数和右导数都存在且相等。
9、选(D)
另解:
由定义,
10、选(B)
11、由导数定义知
再由极限的保号性知当时,
从而当时,,因此C成立,应选C。
12、由函数在处可导,知函数在处连续
,所以。
又,
所以。
应选C。
(1)
(2),,
(3)两边对求导:
(4)
设
则
(5)两边取对数:
两边求导:
(6)利用定义:
(7)
又
[注:
因在处是否二阶可导不知,故只能用定义求。
]
(8)
2、易知当时,均可导,要使在处可导
则,且在处连续。
即
而
又
由
3、证明:
设交点坐标为,则
对两边求导:
曲线在处切线斜率
又由
两切线相互垂直。
4、设分钟后气球上升了米,则
两边对求导:
当m时,
当m时,(弧度/分)
5、证明:
6、解:
由于,于是所求切线斜率为
从而所求切线方程为,即
又法线斜率为
所以所求法线方程为,即
第三单元微分中值定理与导数应用
1、__________。
2、函数在区间______________单调增。
3、函数的极大值是____________。
4、曲线在区间__________是凸的。
5、函数在处的阶泰勒多项式是_________。
6、曲线的拐点坐标是_________。
7、若在含的(其中)内恒有二阶负的导数,且_______,则是在上的最大值。
8、在内有__________个零点。
9、。
10、。
11、曲线的上凸区间是___________。
12、函数的单调增区间是___________。
1、函数有连续二阶导数且则()
(A)不存在;
(B)0;
(C)-1;
(D)-2。
2、设则在内曲线()
(A)单调增凹的;
(B)单调减凹的;
(C)单调增凸的;
(D)单调减凸的。
3、在内连续,,则在处()
(A)取得极大值;
(B)取得极小值;
(C)一定有拐点;
(D)可能取得极值,也可能有拐点。
4、设在上连续,在内可导,则Ⅰ:
在内与Ⅱ:
在上之间关系是()
(A)Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件;
(B)Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件;
(C)Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件;
(D)Ⅰ不是Ⅱ的充分条件,也不是必要条件。
5、设、在连续可导,,且,则当时,则有()
(C);
(D)。
6、方程在区间内()
(A)无实根;
(B)有唯一实根;
(C)有两个实根;
(D)有三个实根。
7、已知在的某个邻域内连续,且,,则在点处()
(A)不可导;
(B)可导,且;
(C)取得极大值;
(D)取得极小值。
8、设有二阶连续导数,且,,则( )
(A)是的极大值;
(B)是的极小值;
(C)是曲线的拐点;
(D)不是的极值点。
9、设为方程的二根,在上连续,在内可导,则在内()
(A)只有一实根;
(B)至少有一实根;
(C)没有实根;
(D)至少有2个实根。
10、在区间上满足罗尔定理条件的函数是()
(A);
(B);
11、函数在区间内可导,则在内是函数在内单调增加的()
(A)必要但非充分条件;
(B)充分但非必要条件;
(C)无关条件。
12、设是满足微分方程的解,且,则在()
(A)的某个邻域单调增加;
(B)的某个邻域单调减少;
(C)处取得极小值;
(D)处取得极大值。
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)。
2、证明以下不等式
(1)、设,证明。
(2)、当时,有不等式。
3、已知,利用泰勒公式求。
4、试确定常数与的一组数,使得当时,与为等价无穷小。
5、设在上可导,试证存在,使
6、作半径为的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积最小,并求出该体积最小值。
7、若在上有三阶导数,且,设,试证:
在内至少存在一个,使。
第三单元微分中值定理与导数应用测试题详细解答
2、在
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