人教版最新高中数学同步辅导与检测必修5模块综合评价二Word文档下载推荐.docx
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,C=30°
,c=20,则边a的长为( )
A.10B.20C.20D.
由正弦定理:
=,
所以a===20.
B
3.不等式2x2+mx+n>
0的解集是{x|x>
3或x<
-2},则m,n的值分别是( )
A.2,12B.2,-2
C.2,-12D.-2,-12
由题意知-2,3是方程2x2+mx+n=0的两个根,所以-2+3=-,-2×
3=,所以m=-2,n=-12.
D
4.在等差数列{an}中,首项a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,则m的值为( )
A.37B.36C.20D.19
由am=a1+a2+…+a9得(m-1)d=9a5=36d⇒m=37.
A
5.不等式(x-2y+1)(x+y-3)<
0表示的区域为( )
A B
C D
利用点(4,0)判断不等式(x-2y+1)·
(x+y-3)<
0,故排除选项A、B、D.
6.若三条线段的长分别为3、5、7,则用这三条线段( )
A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形
C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形
由余弦定理:
设最大角为A,则cosA==-<0,所以A为钝角.
7.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是( )
A.B.[2,8]
C.[2,8)D.[2,7]
由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]<,又[x]表示不大于x的最大整数,所以2≤x<8.
8.已知等比数列{an}满足an>
0,n=1,2…,且a5·
a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1的值为( )
A.n(2n-1)B.(n+1)2
C.n2D.(n-1)2
由a5·
a2n-5=22n(n≥3)得a2n=22n,an>
0,则an=2n,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2,选C.
9.若变量x,y满足则z=3x+2y的最大值是( )
A.90B.80C.70D.40
作出可行域如图所示.由于2x+y=40、
x+2y=50的斜率分别为-2,
-,而3x+2y=0的斜率为-,故线性目标函数的倾斜角大于2x+y=40的倾斜角而小于x+2y=50的倾斜角,由图知,3x+2y=z经过点A(10,20)时,z有最大值,z的最大值为70.
10.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫做税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,则k的取值范围为( )
A.[2,8]B.(2,8)C.(4,8)D.(1,7)
设产销售为每年x万瓶,则销售收入每年70x万元,从中征收的税金为70x·
k%万元,其中x=100-10k.由题意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.
11.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.8B.6
C.4D.2
只需求(x+y)的最小值大于等于9即可,又(x+y)·
=1+a·
++a≥a+1+2=a+2+1,当且仅当a·
=时等号成立,所以()2+2+1≥9,即()2+2-8≥0,求得≥2或≤-4(舍去),所以a≥4,即a的最小值为4.
12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则cosB=( )
A.B.C.D.
因为b2=ac且c=2a,
cosB====.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知0<x<6,则(6-x)·
x的最大值是________.
因为0<x<6,所以6-x>0,所以(6-x)·
x≤=9.
9
14.观察下列等式:
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此规律,第n个等式可为12-22+32+…+(-1)n+1n2=________.
分n为奇数、偶数两种情况.第n个等式为12-22+32-42+(-1)n+1·
n2.
当n为偶数时,分组求和:
(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]=-(3+7+11+15+…+2n-1)=
-=-.
当n为奇数时,第n个等式=-+n2=.
综上,第n个等式:
12-22+32-…+
(-1)n+1n2=n(n+1).
n(n+1)
15.定义运算“⊗”:
x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>
0,y>
0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.
因为x⊗y=,所以(2y)⊗x=.又x>
0,故x⊗y+(2y)⊗x=+=≥=,当且仅当x=y时,等号成立.
16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为________.
由题意知,sinB+cosB=,所以sin=,所以B=,根据正弦定理可知=,可得=,所以sinA=,又a<
b,故A=.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等差数列{an}中,a1=8,a3=4.
(1)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最大值及使得Sn最大的序号n的值;
(2)设bn=(n∈N*),求Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*).
解:
(1){an}的等差数列,公差d==-2,
所以an=10-2n.
设Sn=a1+a2+…+an,则
Sn=a1+a2+…+an==-n2+9n=-+,
于是,当n取4或5时,Sn最大,Snmax=20.
(2)bn===,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=
=.
18.(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°
方向,距离12nmile的海面上有一走私船正以10nmike/h的速度沿南偏东75°
方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h,若要在最短时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏45°
+α的方向去追,求追上走私船所需的时间和α角的正弦值.
设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上(如图所示).
则有AB=14x,BC=10x,∠ACB=120°
,
(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°
所以x=2,AB=28,BC=20,
sinα==.
所以所需时间为2小时,α角的正弦值为.
19.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2-ax+b.
(1)若不等式f(x)<
0的解集是{x|2<
x<
3},求不等式bx2-ax+1>
0的解集;
(2)当b=3-a时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(1)因为不等式x2-ax+b<
3},所以2,3是方程x2-ax+b=0的解,由韦达定理得a=5,b=6.
故不等式bx2-ax+1>
0为6x2-5x+1>
0,
解不等式6x2-5x+1>
0得其解集为
.
(2)据题意f(x)=x2-ax+3-a≥0恒成立,则Δ=a2-4(3-a)≤0,
解不等式a2-4(3-a)≤0得-6≤a≤2.
所以实数a的取值范围为-6≤a≤2.
20.(本小题满分12分)设f(x)=(x>0).
(1)求f(x)的最大值;
(2)证明:
对任意实数a,b,恒有f(a)<b2-3b+.
(1)解:
因为x>0,
所以f(x)==≤==2,
当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
所以当x=2时,f(x)max=2.
令g(b)=b2-3b+,b∈R,
则g(b)=+3,
所以当b=时,g(b)min=3,
因为f(x)max=2,
所以f(x)max<g(b)min,
故对任意实数a,b,恒有f(a)<b2-3b+.
21.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0),
(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求a,b的值;
(2)若f
(1)=2,a>0,b>0,求+的最小值.
(1)因为不等式f(x)>0的解集为(-1,3),所以-1和3是方程f(x)=0的两实根,从而有:
即解得:
(2)由f
(1)=2,a>0,b>0得到a+b=1,所以+=·
(a+b)=
5++≥5+2=9,当且仅当即时“=”成立;
所以+的最小值为9.
22.(本小题满分12分)据市场分析,某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;
当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系.
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润;
(3)当月产量为多少吨时,每吨平均成本最低,最低成本是多少万元?
(1)y=a(x-15)2+17.5(a∈R,a≠0),将x=10,
y=20代入上式得,
20=25a+17.5,解得a=,
所以y=(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设利润为Q(x),则Q(x)=1.6x-y=
1.6x-=
-(x-23)2+12.9(10≤x≤25),
因为x=23∈[10,25],
所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.
(3)==x+-3≥
2-3=1.
当且仅当=,即x=20∈[10,25]时上式“=”成立.
故当月产量为20吨时,每吨平均成本最低,最低成本为1万元.
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