吉林省舒兰市第一中学学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含答案Word下载.docx
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A.-=1B.-=1C.-y2=1D.-=1
4.下列有关的说法正确的是( )
A.“若x>1,则2x>1”的否为真
B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆是真
C.“若空间向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否为假
D.“若x>1,则x>a”的逆为真,则a>0
5.设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.“存在实数x,使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1
7.过点(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于( )
A.2B.C.2D.
8.已知抛物线y2=2px(p>
0),过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
9.已知椭圆+=1(a>
b>
0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
10.椭圆+=1的焦点坐标为( )
A.(-4,0)和(4,0) B.(0,-)和(0,)
C.(-3,0)和(3,0)D.(0,-9)和(0,9)
11.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为( )
A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m
12.已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上)
13.抛物线上的点到直线距离的最小值是___________
14.椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________.
15.设P为曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是________.
16.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值是________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)已知p:
x2-2x-3<0,若|x-1|<a(a>0)是p的一个必要不充分条件,求a的取值范围.
18.(本题满分12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,若·
=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求△PF1F2的面积.
19.(本题满分12分)已知a>0,a≠1,设p:
函数y=loga(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减,q:
曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.若p或q为真,p且q为假,求a的取值范围.
20.(本题满分12分)已知椭圆C1:
+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
21.(本题满分12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
22.(本题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:
(a>b>0)右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
DBCCACCBDCBA
13.4/314.2/315.x2-4y2=116.32
17解:
由于p:
x2-2x-3<0⇔-1<x<3,
|x-1|<a⇔1-a<x<1+a(a>0).
依题意,得{x|-1<x<3}{x|1-a<x<1+a}(a>0),
∴或
解得a>2.则a的取值范围是(2,+∞).
18解析:
(1)∵·
=0,∴△PF1F2是直角三角形,∴|OP|=|F1F2|=c.
又|OP|==5,∴c=5.
∴椭圆方程为+=1.
又P(3,4)在椭圆上,∴+=1,
∴a2=45或a2=5.
又a>c,∴a2=5舍去.
故所求椭圆方程为+=1.
(2)由椭圆定义知:
|PF1|+|PF2|=6,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,②
由①2-②得2|PF1|·
|PF2|=80,
∴=|PF1|·
|PF2|=×
40=20.
19解:
y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减,故0<a<1.曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于(2a-3)2-4>0,即a<或a>.
又a>0,∴0<a<或a>.
∵p或q为真,∴p,q中至少有一个为真.
又∵p且q为假,∴p,q中至少有一个为假,
∴p,q中必定是一个为真一个为假.
①若p真,q假.即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内单调递减,
曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴不交于两不同点,则∴≤a<1.
②若p假,q真.即函数y=loga(x+1)在(0,+∞)内不是单调递减,曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点,因此,∴a>.
综上可知,实数a的取值范围为∪.
20解析:
(1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2).
其离心率为,故=,则a=4,
故椭圆C2的方程为+=1.
(2)法一:
A、B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),
由=2及
(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,
因此可设直线AB的方程为y=kx.
将y=kx代入+y2=1中,
得(1+4k2)x2=4,所以x=,
将y=kx代入+=1中,
得(4+k2)x2=16,所以x=,
又由=2得x=4x,
即=,
解得k=±
1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.
法二:
得(1+4k2)x2=4,
所以x=,由=2
得x=,y=,
将x,y代入+=1中,
得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±
1.
故直线AB的方程为y=x或y=-x.
21解析:
(1)直线AB的方程是y=2,
与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0即x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,
从而A(1,-2),B(4,4).
设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),
又y32=8x3,即2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
22:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则,,,
由此可得.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.
又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为.
(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为
y=,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.
于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=.
由已知,四边形ACBD的面积.当n=0时,S取得最大值,最大值为.
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