北京市通州区高三模拟考试数学理科试题一含答案Word下载.docx

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A．24

B．20+4

C．28

第4题图

D．24+4

5．已知是首项为且公差不为的等差数列，若成等比数列，则的前项和等于

A．26B．30C．36D．40

6．若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是

A．B．C．D.

7．已知点，点在抛物线上，过点的直线与直线垂直相交于点，，则的值为

A．B．C．D．

8．若定义域均为的三个函数，，满足条件：

，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．已知，，是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）

9．的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）

10．在△中，，，△的面积为，则的长为．

11．如图，圆的直径，直线和圆相切于点，

⊥于，若，则的长为______.

12．若,,是单位向量，且，则的

最大值为．

13．已知函数.若,且,则的取值范围是．

14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．

甲乙

我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为（0,1），第二行记为（1,2），第三行记为（4,5），照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为，第n（n∈N*）行中白圈与黑圈的“坐标”为________．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

15．（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．

16．（本小题13分）

中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．

（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；

（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；

（Ⅲ）在[8:

00，23:

00]内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t1，t2，t3，…，t16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于的概率．

17．（本小题14分）

如图，在多面体中，四边形为正方形，∥，，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得二面

角的大小为？

若存在求出

的长，若不存在请说明理由.

18．（本小题13分）

已知函数（a≠0）．

（Ⅰ）当时，求函数的零点；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当时，若对恒成立，求的取值范围．

19．（本小题14分）

已知椭圆:

.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为坐标原点，为椭圆上的三个动点，若四边形为平行四边形，判断的面积是否为定值，并说明理由．

20．（本小题13分）

已知数列满足，，其中,是不为的常数.

（Ⅰ）证明：

若是递增数列，则不可能是等差数列；

（Ⅱ）证明：

若是递减的等比数列，则中的每一项都大于其后任意个项的和；

（Ⅲ）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式．

理科数学参考答案

2016年4月

一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）

1

2

3

4

5

6

7

8

A

D

A

B

C

二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分）

9.；

　10.；

　　11.；

12.；

　　13.；

　　14.,．

三、解答题（共6个小题，共80分）

15.解：

（Ⅰ）因为

……………………………………………4分

．………………………………………………6分

所以函数的最小正周期．……………………………7分

（Ⅱ）当时，，……………………8分

所以当，即时，函数取得最大值，……………10分

当，即时，函数取得最小值．

……………………………12分

所以在上的最大值和最小值分别为和．

……………………………13分

16.解：

（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．　　　　　　　　　　　　　　……………………………3分

（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．

……………………………7分

（Ⅲ）由图可得下表：

整点

时刻

最高

气温

最低

温差

……………………………10分

由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：

（，），（，），（，），

（，），（，），（，）．

其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于”的事件（记为A）共有3个：

所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于的概率．……………………………13分

17.（Ⅰ）证明：

连结AC交于，连结，．

因为四边形为正方形，

所以是的中点，

又是中点，

所以，．

而，，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．……………………………5分

因为，是的中点，

所以．

因为，，

所以．

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面．　　9分

（Ⅲ）解：

HE，AD，OH两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H－xyz．则

，，，

设点，于是有，．

　　　设平面的法向量，则

　即　

令，得，．

平面的法向量．

所以，即．

所以点的坐标为，与点的坐标相同．

所以．……………………………14分

18.解：

（Ⅰ）令，即．……………………………1分

因为,所以．……………………………2分

因为,所以.

所以方程有两个不等实根：

，．

所以函数有且只有两个零点和.………3分

（Ⅱ）．…………………………4分

令，即，解得或．………………5分

当时，列表得：

x

+

－

单调递增

极大值

单调递减

极小值

……………………………6分

当时，

（1）若，则，列表得

（2）若，则，列表得

……………………………8分

综上，当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为，．

……………………………9分

（Ⅲ）因为，所以当时，有，，，

所以，从而．……………………………10分

当时，由（Ⅱ）可知函数在时取得极小值．

所以，为函数在上的最小值．……………………………11分

由题意，不等式对恒成立，

所以得，解得．

所以的取值范围是．…………………………………………13分

19.解：

（Ⅰ）椭圆的标准方程为：

所以，，．

所以椭圆的离心率.……………………4分

（Ⅱ）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时垂直平分．

，

所以的面积.…………6分

②若B不是椭圆的左、右顶点，设，

，

由得，

，，．……………………9分

因为四边形为平行四边形，

所以，

代入椭圆方程，化简得.…………………10分

因为

.…………………11分

点到的距离.…………………12分

所以的面积.

综上，的面积为定值.……………………………13分

因为的面积等于的面积，

所以的面积为定值.…………………………………………14分

20.解：

（Ⅰ）因为是递增数列，所以.……………1分

由于，所以，.

假设数列是等差数列，那么，，成等差数列.

所以，因而，解得或.……………………2分

由已知，当，，这与是递增数列矛盾，故的值不存在.

所以数列不可能是等差数列.………………………………………………3分

（Ⅱ）因为是递减数列，所以.

因为，所以，.

因为数列是等比数列，

所以，得或（舍去）.

则，公比，故.……………………4分

设，那么，，，（）．

因为，，，，

所以．……………5分

因为…6分

而，即，

所以.

即:

数列中的每一项大于其后任意个项的和.……………………7分

（Ⅲ）由于是递增数列，所以，

所以．　　　①

因为，所以.　　　②

由①②知，，因此.　　③……9分

因为是递减数列，同理得，，

故.④

由③④可知，.……………………11分

因此

.

所以数列的通项公式为.………………………13分