概率论与数理统计第一章教案Word格式.docx
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事件的基本关系与运算,概率的性质
难点:
用集合表示样本空间和事件
Ⅳ讲授内容:
一两类现象———确定现象与不确定现象
先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象.
例1水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾。
例2向上抛掷一个五分硬币,往下掉。
例3太阳从东方升起。
例4一个大气压力下,20℃的水结冰。
例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的。
个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例.
例5用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中.
例6在相同的条件下,抛一枚质地均匀的硬币,其结果可能是正面(我们常把有币值的一面称作正面)朝上,也可能是反面朝上。
例7次品率为50%的产品,任取一个可能是正品,也可能是次品。
例8次品率为1%的产品,任取一个可能是正品,也可能是正品.
例5~例8这类现象归纳起来可以看作在相同条件下一系列的试验或观察,而每次试验或观察的可能结果不止一个,在每次试验或观察之前无法预知确切结果,即呈现出不确定性(即这些现象的结果事先不能完全确定),这一类型现象我们称之为不确定性现象或偶然现象,也称之为随机现象.
二统计规律性、概率论研究的对象
对于不确定性现象,人们经过长时期的观察或实践的结果表明,这些现象并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的。
例如,大量重复抛一枚硬币,得正面朝上的次数与正面朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半。
在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们以后所说的统计规律性.而概率论正是研究这种随机(偶然)现象,寻找他们的内在的统计规律性的一门数学学科。
概率论是数理统计的基础,由于随机现象的普遍性,使得概率与数理统计具有及其广泛的应用。
另一方面,广泛的应用也促进概率论有了极大的发展。
§
1。
1随机试验
对随机现象进行的试验或观察称为随机试验,简称试验,它具有下列特性(征):
(1)试验可以在相同条件下重复进行;
(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
随机实验记为E。
例1E1:
投掷一枚硬币,观察正反面朝上的情况。
它有两种可能的结果就是“正面朝上”或“反面朝上”,投掷之前不能预言哪一个结果出现,且这个试验可以在相同的条件下重复进行,所以E1是一个随机试验.
例2E2:
掷一颗骰子,观察出现的点数.
它有6种可能的结果就是“出现1点”,“出现2点”•••,“出现6点”.但在投掷之前不能预言哪一个结果出现,且这个试验可以在相同的条件下重复进行,所以E2是一个随机试验。
例3E3:
在一批灯泡中任意抽取一只,测试他的寿命。
我们知道灯泡的寿命(以小时计)t≥0,但在测试之前不能确定它的寿命有多长,这一试验也可以在相同的条件下重复进行,所以E3是一个随机试验。
1.2样本空间、随机事件
对随机试验我们感兴趣的是试验结果。
随机试验E的每一个可能的结果,称之为基本事件,它是不能再分的最简单的事件。
因为随机试验的所有结果是明确的,从而所有的基本事件也是明确的,我们把随机试验E的所有基本事件所组成的集合(全体)叫做试验E的样本空间,通常用字母Ω表示,Ω中的点,即基本事件.有时也称做样本点,常用ω表示。
例4试验E2:
投掷一枚硬币.
“正面朝上”和“反面朝上”是E1的基本事件,所以样本空间Ω={正,反}。
例5试验E2:
掷一颗骰子.
令i表示“出现i点”.(i=1,2,•••,6),是E2的基本事件,所以样本空间Ω={1,2,•••,8}。
例6试验E3:
测试灯泡寿命。
令t表示“测得灯泡寿命为t小时”,则0≤t<+∞是E3的基本事件,所以Ω={t|0≤t<+∞}.
例7一个盒子中有十个相同的球,但5个是白色的,另外5个是黑色的,搅匀后从中任意摸取一球。
令ω1={取得白球},ω2={取得黑球},则Ω={ω1,ω2}。
例8试验E4:
将一硬币抛掷两次.
则Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}。
其中(正,正)表示“第一次正面朝上,第二次正面朝上”,余类推。
例9个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1,2,•••,10,从中任取一球,令i={取得球的标号为i},则Ω={1,2,•••,10}。
在随机试验中,有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生.如在例5中E2试验,我们可以研究
A表示“出现2点”即A={出现2点}
B表示“出现偶数点”
C表示“出现的点数≤4”
这些结果是否发生?
在例9中,我们可以研究
D={球的标号=6}
E={球的标号是偶数}
F={球的标号≤5}
其中A是一个基本事件,而B是由{出现2点},{出现4点}和{出现6点}这三个基本事件组成的,当且仅当这三个基本事件中有一个发生,B发生。
所以B,C,E,F是由若干个有某些特征的基本事件所组成的,相对与基本事件,就称她们是复合事件。
无论是基本事件还是复合事件,它们在试验中发生与否,艘带有随机性,所以都叫随机事件或简称事件,今后我们常用大写字母A,B,C等表示事件。
我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而任一随机事件不过是有某些特征的基本事件所组成,所以从集合论的观点来看,任一随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已,而且时间发生,当且仅当子集中的一个样本点发生.如在例5中,随机事件A、B、C都是Ω的子集,它们可以简单地表示为
Ω={1,2,3,4,5,6}
A={2},B={2,4,6}
C={1,2,3,4}
在例9中
Ω={1,2,•••,10}
D={6},E={2,4,5,8,10}
F={1,2,3,4,5}
事件D只含一个试验结果,而在事件E和F中各含5个可能的试验结果.所以我们也可以这样说,只包含一个试验结果的事件为基本事件,由两个或两个以上基本事件复合而成的事件为复合事件。
在试验E中必然会发生的事情叫必然事件,不可能发生的事情叫不可能事件,例如例5E2中“点数不大于6”是必然事件,“点数大于6"
是不可能事件,因为Ω是所有基本事件所组成的,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件ω,即ω∈Ω。
也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后用Ω来代表必然事件,类似地,空集Φ可以看作是Ω的子集,它在任一次试验中都不会发生,所以Φ是不可能事件。
必然事件和不可能事件的发生与否,已经失去了今后研究的方便,我们把它们当作一种特殊的随机事件。
小结将随机事件表示成由样本点组成的集合,就可以将事件间的关系和运算归结为集合之间的关系和运算,这不仅对研究事件的关系和运算是方便的,而且对研究随机事件发生的可能性大小的数量指标—概率的运算也是非常有益的.
三事件之间的关系和运算
一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件。
概率论的任务之一,是研究随机事件的规律,通过对简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,下面我们引进事件之间的一些重要关系和运算,通过研究事件间的各种关系,进而研究事件间的概率的各种关系,就有可能利用较简单事件的概率去推算较复杂的事件的概率。
在以下的叙述中,设试验E的样本空间为Ω,还给了Ω中的一些事件,如A,B,A(K=1,2,•••)等等.
(一)事件的包含及相等
如果事件A的发生必然导致事件B的发生,则称事件B包含事件A,或称事件A是事件B的特款(子事件),记作AB或BA,比如在例5中,A={2},B={2,4,6},显然AB。
如果将事件用集合表示,则A是B的子事件即为A是B的子集合(B包含集合A).用图1。
1(a)给包含关系一个直观的几何解释,设样本空间Ω是一个正方形,园A与园B分别表示事件A与事件B,由于A中的点全在B中,所以事件B包含事件A。
如果有AB且BA,则称事件A与事件B相等,记作A=B。
易知,相等的两个事件A、B,总是同时发生或同时不发生,亦即A=B等价于它们是由相同的试验结果构成的.
如在例9中,若A={球的标号为偶数},B={球的标号为2、4、6、8、10},则显然有A=B,所谓A=B,就是A、B中含有相同的样本点.
对任一事件A,有ФAΩ。
(二)事件的和(并)
“二事件A与B中至少有一个事件发生”,这样的一个事件叫做事件A与B的和(或并),记作A∪B(或A+B)。
A∪B是由所有包含在A中的或包含在B中的试验结果构成.
如果将事件用集合表示,则事件A与B的和事件A∪B即为集合A与B的并.如图1。
1(b)所示。
如在例5中,A={2,4,6},B={1,2,3,4}则C=A∪B={1,2,3,4,6}。
事件的和可推广到有限多个事件和可列(数)无穷多个事件的情形。
用A1∪A2∪…∪An或Ai表示A1,A2,…,Ai中至少发生其一这一事件,用A1∪A2∪…或Ai表示A1,A2…中至少发生其一这一事件.
(三)事件的积(交)
“二事件A与B同时发生”这样的事件称作事件A与B的积(或变),记作A∩B或AB。
AB是由既包含在A中又包含在B中的试验结果构成,它对应与图1.1(c)中的阴影部分.
如在例5中,A={2,4,6},B={1,2,3,4},则
C=A∩B={2,4}
如果将事件用集合表示,则事件A与B的积事件C即为集合A与B的交.
类似地,也可以将事件的积推广到有限多个和可列(数)无穷多个事件的情况。
用A1∩A2∩…∩Ai或A1,A2,…,An同时发生这一事件;
用A1∩A2∩…或表示A1,A2,…同时发生的事件。
(四)事件的差
“事件A发生而事件B不发生”这样的事件称为事件A与B的差,记作A-B。
A—B是由所有包含在A中而不包含在B中的试验结果构成,它对应于图1.1(d)中的阴影部分.
比如例5中,A={2,4,6},B={1,2,3,4},则C=A-B={6}。
由事件的差的定义可知,对于任意的事件A,有A—A=Ф,A-Ω=A,A—Ω=Ф。
(五)事件的差
如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说AB是一个不可能事件,即AB=Ф,则称二事件A与B是互不相容的(或互斥的).A,B互不相容等价于它们不包含相同的试验结果。
互不相容事件A与B没有公共的样本点,如图1。
1(e)所示。
若用集合表示事件,则A,B互不相容即为A与B是不交的。
如果n个事件A1,A2,…,An中,任意两个事件不可能同时发生,即
AiAj=Ф(1≤i<j≤n)
则称这n个事件A1,A2,…An是互不相容的(或互斥的).在任意一个随机试验中基本事件都是互不相容的。
还容易看出,事件A与B—A是互不相容的。
(六)对立事件
若A是一个事件,令=Ω-A,称是A的对立事件或逆事件。
容易知道,在一次试验中,若A发生,则必不发生(反之亦然),即A与中必然有一个发生,且仅有一个发生,即事件A与满足条件
A=Ф,A∪=Ω。
由所有不包含在A中的试验结果构成,图1。
1(f)中阴影部分表示。
比如例5中,A={2,4,6},B={1,3,5},则=B,=A,所以A,B互为对立事件。
必然事件与不可能事件也是互
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- 概率论 数理统计 第一章 教案