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小学奥数年龄问题
小学奥数《年龄问题》之樊仲川亿创作
时间:
二O二一年七月二十九日
年龄问题是日常生活中一种罕见的问题.例如:
已知两团体或若干人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系等等.要正确解答这类题,首先要明白:
两个不合年龄的人,年龄之差始终不变.所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点,运用“和差”、“差倍”等知识来阐发解答有关年龄方面的问题.
年龄问题的三大规律:
1、两人的年龄差是不变的;
2、两人年龄的倍数关系是变更的量;
3、随着时间的推移,两人的年龄都是增加相等的量.
解答年龄问题的一般办法是:
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄,
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.
典型例题
例[1] 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁.5年后爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸、妈妈两人各多少岁?
阐发 5年后,爸爸比妈妈大6岁,即爸爸、妈妈的年龄差是6岁,它是一个不变量.因此,爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结为“已知爸爸、妈妈的年龄和是82岁,他们的年龄差是6岁,求两人各是几岁”的和差问题.
解 爸爸年龄:
(82+6)÷2=44(岁)
妈妈年龄:
44-6=38(岁)
答:
爸爸的年龄是44岁,妈妈的年龄是38岁.
例[2]小红今年7岁,妈妈今年35岁.小红几岁时,妈妈的年龄正好是小红的3倍?
阐发 无论小红多少岁时,妈妈的年龄都比小红大(35-7)岁.所以当妈妈的年龄是小红的3倍时,也就是妈妈年龄比小红大(3-1)倍时,妈妈仍比小红大(35-7)岁,这个差是不变的.由这个(35-7)岁的差和对应的这个(3-1)倍,就可以算出小红的年龄,即差倍问题中的差÷(倍数-1)=较小数.
解 妈妈现在比小红大的岁数:
35-7=28(岁)
妈妈年龄是小红的3倍时,比小红大的倍数是:
3-1=2(倍)
妈妈年龄是小红的3倍时,小红的年龄是:
28÷2=14(岁)
答:
小红14岁时,妈妈年龄正好是小红的3倍.
例[3] 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问:
母亲今年多少岁?
阐发 6年后母子年龄和是78岁,可以求出母子今年年龄和是78-6×2=66(岁).6 年前母子年龄和是66-6×2=54(岁).又按照6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍,可以求出6年前母亲年龄,再求出母亲今年的年龄.
解 母子今年年龄和:
78-6×2=66(岁)
母子6年前年龄和:
66-6×2=54(岁)
母亲6年前的年龄:
54÷(5+1)×5=45(岁)
母亲今年的年龄:
45+6=51(岁)
答:
母亲今年是51岁.
例[4] 小强今年13岁,小军今年9岁.当两人的年龄和是40岁时,两个各是多少岁?
阐发 小强和小军的年龄差为13-9=4(岁),这是一个不变量.当两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差(4岁),这是一个不变量.当两人的年龄和是40岁时,小强比小军还是大4岁.
如果从两人的年龄和40岁里减去一个两人的年龄差(4岁)可,得到的就是两个小军的年龄,由此可求出小军的年龄.再由小军的年龄求出小强的年龄.
解法一 小强比小军大的年龄:
13-9=4(岁)
当两人的年龄和是40岁时,小军年龄的2倍是:
40-4=36(岁)
当两人的年龄和是40岁时,小军的年龄是:
36÷2=18(岁)
小强的年龄是:
40-18=22(岁)
解法二 如果给两人的年龄和40岁再加上两人的年龄差4岁,将得到小强年龄的2倍,由此可以求出小强的年龄以及小军的年龄.
小强和小军的年龄差:
13-9=4(岁)
小强年龄的2倍:
40+4=44(岁)
当两人的年龄是40岁时,小强的年龄:
44÷2=22(岁)
当两人的年龄和是40岁时,小军的年龄:
40-22=18(岁)
答:
小强、小军的年龄辨别是22岁、18岁.
例[5] 甲、乙两人的年龄和正好是100岁.当甲像乙现在这样大时,乙的年龄正好是甲年龄的一半.甲、乙两人今年各多少岁?
阐发 由“乙的年龄正好是甲年龄的一半”可知:
甲、乙两人的年龄如下图所示:
乙
甲
再结合“当甲像乙现在这样大时,乙的年龄正好是甲年龄的一半”可推出,甲的年龄要和乙现在的年龄相等,甲要减少几岁,乙要增加相同的岁数,且这个年龄相当于乙的1倍,这样甲、乙两人的年龄关系为:
乙
甲
1倍
1倍
1倍
2倍
100岁
从上图可以看出:
现在乙的年龄如果有2份,甲的年龄就有这样的3份,甲、乙两人的年龄共有2+2+1=5(份).5份对应着两人的年龄和100岁.这样就很容易求出甲、乙两人各自的年龄.
解 甲、乙两人年龄的份数和是多少?
2+2+1=5(份)
每份是多少?
100÷5=20(岁)
乙的年龄是多少岁?
20×2=40(岁)
甲的年龄是多少岁?
20×(2+1)=60(岁)
综合算式是:
100÷(2+2+1)×2=40(岁)
100÷(2+2+1)×(2+1)=60(岁)
答:
甲今年60岁,乙今年40岁.
小结 年龄问题的主要特点是:
大小年龄差是个不变的量,而年龄的倍数却年年不合.我们可以抓住“差不变”这个特点,再按照大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题.
解答年龄问题的一般办法是:
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差
练习
1、小东今年13岁,小浩今年8岁.3年后小东比小浩大几岁?
13-8=5(岁)
答:
小东比小浩大5岁.
2、哥哥和弟弟两人的年龄和是36岁.3年后,哥哥比弟弟大4岁.问哥哥、弟弟两人各多少岁?
解:
哥哥的年龄(36+4)÷2=20(岁)
弟弟的年龄20-4=16(岁)
3、小军今年8岁,爸爸今年38岁,那么几年后,爸爸的年龄是小军的3倍?
解题思路
小军今年8岁,爸爸今年38岁,他们的年龄差是38-8=30(岁).那么几年后,爸爸年龄是小军的3倍时,年龄差还是30岁,爸爸的年龄比小军的年龄多3-1=2倍,这样我们就可以求出小军几年后的年龄.
解:
(38-8)÷(3-1)=15(岁)
15-8=7(年)
4、5年前小芳的年龄是小英年龄的7倍,10年后小芳年龄是小英年龄的2倍,问今年小芳、小英两人各多少岁?
解题思路:
画线段图可以看出,因为10年后小芳的年龄是小英年龄的2倍,所以两人当时的年龄差为小英当时的年龄,即5+10+小英5年前的年龄.因为5年前小芳的年龄是小英年龄的7倍,两人的年龄差为小英当时年龄的6倍.所以15相当于小英5年前年龄的5倍,可求出小英5年前的年龄.
解:
(10+5)÷(7-1-1)=3(岁)
小英年龄3+5=8(岁)
小芳年龄3×7+5=26(岁)
5、姐姐今年18岁,妹妹今年13岁.试求当两人年龄和为73岁时,两人各应是多少岁?
解法一:
妹妹年龄差为18-13=5(岁),不管经过多少年,两人的年龄差不变,仍然为5岁.如果由73岁中减去5岁的差恰好为几年后妹妹年龄的2倍.
妹妹年龄 :
[73-(18-13)]÷2=34(岁)
姐姐年龄:
34+5=39(岁)
解法二:
姐妹两人今年的年龄和可求出,每过一年两人的年龄和增长2岁,那么当两人年龄和增长到73岁时,增长的年龄应是年份增长的2倍,即可知当两人年龄和为73岁时,又过了多少年那么姐妹二人年龄就可以求出.
姐妹两人的年龄和为73岁时还需:
[73-(18+13)]÷2=21(年)
那时,姐姐的年龄18+21=39(岁)
妹妹的年龄13+21=24(岁)
解法三:
当姐妹两人年龄和为73岁时:
姐姐的年龄[73+(18-13)]÷2=39(岁)
这时妹妹的年龄为39-5=34(岁)
6、李荣全家三口人,爸爸、妈妈和他.今年全家的年龄和是70岁,8年前全家的年龄和是47岁.已知妈妈比爸爸小1岁.三人现在各是多少岁?
解题思路:
按照题意,先求8年来全家的年龄和增加了70-47=32(岁),怙恃8年共增加了8×2=16(岁),李荣8年只长了23-16=7(岁).这说明李荣8年前还没出生,现在只有7岁.怙恃年龄和是70-7=63(岁),年龄差是1岁.因此,爸爸的年龄为(63+1)÷2=32(岁),妈妈的年龄为32-1=31(岁)
7、哥哥和弟弟两人3年后年龄和是27岁,弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人年龄的差.哥哥和弟弟今年各多少岁?
解题思路:
从题中“哥哥和弟弟两人3年后年龄和是27岁”这句话,可以求出哥哥和弟弟今年的年龄和是27-3×2=21(岁),从“弟弟今年的年龄正好是哥哥和弟弟两人的年龄差”,即哥哥年龄-弟弟年龄=弟弟年龄.可以知道哥哥今年的年龄是弟弟年龄的2倍,弟弟年龄是哥哥年龄的.
解:
弟弟今年的年龄 (27-3×2)÷(1+2)=7(岁)
哥哥今年的年龄7×2=14(岁)
或(27-3×2)÷(1+ )=14(岁)
14× =7(岁)
8、1994年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的4倍,2002年妈妈的年龄是姐姐和妹妹年龄和的2倍,问妈妈出生是哪一年?
解题思路:
把1994年姐姐和妹妹的年龄和看作1倍,那么妈妈1994年就是这样的4倍.到2002年过了8年,姐姐妹妹的年龄增加了8×2=16(岁),要使妈妈年龄仍然是姐姐和妹妹年龄和的4倍,那么妈妈必须增加16×4=64(岁),而实际只增加8岁.现在少增加64-8=56(岁),就少了2002年姐姐和妹妹这时的年龄和56÷2=28(岁),也求出了2002年妈妈的年龄.
解:
(2002-1994)×2=16(岁)
(16×4-8)÷(4-2)=28(岁)
妈妈的年龄28×2=56(岁)
妈妈出生年2002-56=1946(年)
弥补例题及其解法
例[1] 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁.5年后爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸、妈妈两人各多少岁?
阐发 5年后,爸爸比妈妈大6岁,即爸爸、妈妈的年龄差是6岁,它是一个不变量.因此,爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁.这样原问题就归结为“已知爸爸、妈妈的年龄和是82岁,他们的年龄差是6岁,求两人各是几岁”的和差问题.
解 爸爸年龄:
(82+6)÷2=44(岁)
妈妈年龄:
44-6=38(岁)
答:
爸爸的年龄是44岁,妈妈的年龄是38岁.
例[2] 小红今年7岁,妈妈今年35岁.小红几岁时,妈妈的年龄正好是小红的3倍?
阐发 无论小红多少岁时,妈妈的年龄都比小红大(35-7)岁.所以当妈妈的年龄是小红的3倍时,也就是妈妈年龄比小红大(3-1)倍时,妈妈仍比小红大(35-7)岁,这个差是不变的.由这个(35-7)岁的差和对应的这个(3-1)倍,就可以算出小红的年龄,即差倍问题中的差÷(倍数-1)=较小数.
解 妈妈现在比小红大的岁数:
35-7=28(岁)
妈妈年龄是小红的3倍时,比小红大的倍数是:
3-1=2(倍)
妈妈年龄是小红的3倍时,小红的年龄是:
28÷2=14(岁)
答:
小红14岁时,妈妈年龄正好是小红的3倍.
例[3] 6年前,母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问:
母亲今年多少岁?
阐发 6年后母子年龄和是78岁,可以求出母子今年年龄和是78-6×2=66(岁).6 年前母子年龄和是66-6×2=54(岁).又按照6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍,可以求出6年前母亲年龄,再求出母亲今年的年龄.
解 母子今年年龄和:
78-6×2=66
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