中考数学专题复习存在性问题.docx
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中考数学专题复习存在性问题
中考数学专题复习——存在性问题
中考数学专题复习——存在性问题
一、二次函数中相似三角形的存在性问题
1.如图,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线.
所得抛物线与轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与轴交于点C,顶点为D.
(1)写出的值;
(2)判断△ACD的形状,并说明理由;
(3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM∽△ABC?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
2.如图,抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,
求点D的坐标;
(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,
使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
二、二次函数中面积的存在性问题
3.如图,抛物线与双曲线相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),
点A在第一象限内,且tan∠AOX=4.过点A作直线AC∥轴,交抛物线于另一点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在,写出点D的坐标;
若不存在,说明理由.
4.如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,
A(-2,0),B(-1,-3).
(1)求抛物线的解析式;(3分)
(2)点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;(2分)
(3)在第
(2)问的结论下,抛物线上的点P使S△PAD=4S△ABM成立,求点P的坐标.(4分)
(4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大,若有,求出点Q的坐标,若没有,说明理由。
x
y
C
B
_
D
_
A
O
三、二次函数中直角三角形的存在性问题
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,
抛物线经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,
当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在
(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?
若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题
6.如图,直线交轴于A点,交轴于B点,过A、B两点的抛物线交轴于另一点C(3,0).
⑴求抛物线的解析式;
⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ABQ是等腰三角形?
若存在,求出符合条件的Q点坐标;
若不存在,请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题
7.如图,二次函数y=-x2+ax+b的图像与x轴交于A(-,0)、B(2,0)两点,且与y轴交于点C;
(1)求该拋物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四
点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;
(3)在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点
为顶点的四边形是直角梯形?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
y
A
B
C
O
x
六、二次函数中菱形的存在性问题
8.如图,抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.
直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;
(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标;
(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?
若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.
七、二次函数中与圆有关存在性问题
9.已知:
抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),
它的对称轴交x轴于点N(x3,0),若A,B两点距离不大于6,
(1)求m的取值范围;
(2)当AB=5时,求抛物线的解析式;
(3)试判断,是否存在m的值,使过点A和点N能作圆与y轴切于点(0,1),
或过点B和点N能作圆与y轴切于点(0,1),若存在找出满足条件的m的值,若不存在试说明理由
定值问题:
1.如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
1、【答案】解:
(1)∵由平移的性质知,的顶点坐标为D(-1,-4),
∴。
(2)由
(1)得.
当时,.解之,得 。
∴.
又当时,,
∴C点坐标为(0,-3)。
又抛物线顶点坐标D(-1,-4),
作抛物线的对称轴交轴于点E,DF⊥轴于点F。
易知
在Rt△AED中,AD2=22+42=20,在Rt△AOC中,AC2=32+32=18,
在Rt△CFD中,CD2=12+12=2,∴AC2+CD2=AD2。
∴△ACD是直角三角形。
(3)存在.作OM∥BC交AC于M,M点即为所求点。
由
(2)知,△AOC为等腰直角三角形,∠BAC=450,AC。
由△AOM∽△ABC,得。
即。
过M点作MG⊥AB于点G,则AG=MG=,
OG=AO-AG=3-。
又点M在第三象限,所以M(-,-)。
2、【答案】解:
(1)设抛物线的解析式为,
∵抛物线过A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0)可得,解得。
∴抛物线的解析式为。
(2)①当AE为边时,∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,∴DE=AO=2,
则D在轴下方不可能,∴D在轴上方且DE=2,则D1(1,3),D2(﹣3,3)。
②当AO为对角线时,则DE与AO互相平分。
∵点E在对称轴上,且线段AO的中点横坐标为﹣1,
由对称性知,符合条件的点D只有一个,与点C重合,即C(﹣1,﹣1)。
故符合条件的点D有三个,分别是D1(1,3),D2(﹣3,3),C(﹣1,﹣1)。
(3)存在,如图:
∵B(﹣3,3),C(﹣1,﹣1),根据勾股定理得:
BO2=18,CO2=2,BC2=20,∴BO2+CO2=BC2.∴△BOC是直角三角形。
假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似,
设P(,),由题意知>0,>0,且,
①若△AMP∽△BOC,则。
即+2=3(2+2)得:
1=,2=﹣2(舍去).
当=时,=,即P(,)。
②若△PMA∽△BOC,则,。
即:
2+2=3(+2)得:
1=3,2=﹣2(舍去)
当=3时,=15,即P(3,15).
故符合条件的点P有两个,分别是P(,)或(3,15)。
3、【答案】解:
(1)把点B(-2,-2)的坐标代入得,,∴=4。
∴双曲线的解析式为:
。
设A点的坐标为(m,n).∵A点在双曲线上,∴mn=4。
又∵tan∠AOX=4,∴=4,即m=4n。
∴n2=1,∴n=±1。
∵A点在第一象限,∴n=1,m=4。
∴A点的坐标为(1,4)。
把A、B点的坐标代入得,,解得,=1,=3。
∴抛物线的解析式为:
。
(2)∵AC∥轴,∴点C的纵坐标y=4,
代入得方程,,解得1=-4,2=1(舍去)。
∴C点的坐标为(-4,4),且AC=5。
又∵△ABC的高为6,∴△ABC的面积=×5×6=15。
(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。
理由如下:
过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D,此时△ABD的面积等于△ABC的面积(同底:
AB,等高:
CD和AB的距离)。
∵直线AB相应的一次函数是:
,且CD∥AB,
∴可设直线CD解析式为,
把C点的坐标(﹣4,4)代入可得,。
∴直线CD相应的一次函数是:
。
解方程组,解得,。
∴点D的坐标为(3,18)。
4.
(1)、因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴解之得:
;故为所求
(2)如图2,连接BD,交y轴于点M,则点M就是所求作的点
设BD的解析式为,则有,,
故BD的解析式为;令则,故
(3)、如图3,连接AM,BC交y轴于点N,由
(2)知,OM=OA=OD=2,
易知BN=MN=1,易求
图3
;设,
依题意有:
,即:
解之得:
,,故符合条件的P点有三个:
5.解答:
解:
(1)由已知得:
A(﹣1,0),B(4,5),
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(4,5),
∴,解得:
b=﹣2,c=﹣3;
(2)如图:
∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),∴直线AB的解析式为:
y=x+1,
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3,∴设点E(t,t+1),则F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,EF的最大值为,∴点E的坐标为(,);
(3)①如图:
顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,﹣4)
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4﹣)+××(﹣1)=;
②如图:
ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3)则有:
m2﹣2m﹣2=,
解得:
m1=,m2=,∴P1(,),P2(,),
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3)则有:
n2﹣2n﹣2=﹣,
解得:
n1=,n2=(与点F重合,舍去),∴P3(,),
综上所述:
所有点P的坐标:
P1(,),P2(,),P3(,)
能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
6.解:
(1)∵当=0时,=3当=0时,=﹣1∴(﹣1,0),(0,3)
∵(3,0)··························1分
设抛物线的解析式为=a(+1)(﹣3)
∴3=a×1×(﹣3)∴a=﹣1
∴此抛物线的解析式为=﹣(+1)(﹣3)=-+2+3·····2分
(2)存在
∵抛物线的对称轴为:
x==1···············4分
∴如图对称轴与轴的交点即为Q
∵=,⊥∴=
∴(1,0)··························6分
当=时,设的坐标为(1,m)
∴2+m=1+(3﹣m)
∴m=1
∴(1,1)··························8分
当=时,设(1,n)∴2+n=1+3
∵n>0∴n=
∴(1,)
∴符合条件的点坐标为(1,0),(1,1),(1,)·10分
7、答案:
[解]
(1)根据题意,将A(-,0),B(2,0)代入y=-x2+ax+b中,得,
解这个方程,得a=,b=1,∴该拋物线的解析式为y=-x2+x+1,当x=0时,y=1,
∴点C的坐标为(0,1)。
∴在△AOC中,AC===。
在△BOC
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