届高考数学艺体生文化课复习讲义考点59 推理与证明Word文件下载.docx
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三段论
4.归纳推理与类比推理的步骤
(1)归纳推理的一般步骤:
①通过观察个别情况发现某些相同特征;
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.
(2)类比推理的一般步骤:
①找出两类事物之间的相似性或一致性;
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).
5.合情推理与演绎推理的区别:
归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理;
而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;
演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.
就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想.
6.平面到空间中的常见类比
平面
空间
点
线
面
圆
球
三角形
三棱锥
正三角形
正四面体
角
二面角
面积
体积
周长
表面积
…
7.直接证明
直接证明有两种基本方法:
综合法和分析法.
(1)综合法:
从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.
(2)分析法:
从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法.
8.间接证明
间接证明的一种基本方法是反证法.
(1)反证法:
我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
(2)反证法的证题步骤是:
①反设:
假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;
(否定结论)
②归谬:
将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;
(推导矛盾)
③立论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)
典例剖析
题型一归纳推理
例1 观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律,第五个等式应为_________________________________.
答案 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81
解析 由于1=12,
2+3+4=9=32,
3+4+5+6+7=25=52,
4+5+6+7+8+9+10=49=72,
所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81.
变式训练(2015陕西文)观察下列等式:
1-=,
1-+-=+,
1-+-+-=++,
…,
据此规律,第n个等式可为_______________________________.
答案 1-+-+…+-=++…+
解析 等式左边的特征:
第1个等式有2项,第2个有4项,第3个有6项,且正负交错,故第n个等式左边有2n项且正负交错,应为1-+-+…+-;
等式右边的特征:
第1个有1项,第2个有2项,第3个有3项,故第n个有n项,且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为++…+.
解题要点
(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围;
(2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的;
(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.
题型二类比推理
例2 在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.
答案1∶8
解析==·
=×
=.
变式训练在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论:
++=1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为______________________.
答案 +++=1
解析 设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥A-BCD四个面上的高,P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd,
于是可以得出结论:
+++=1.
解题要点
(1)进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.
(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比;
低维的与高维的类比;
等差数列与等比数列类比;
数的运算与向量的运算类比;
圆锥曲线间的类比等.
题型三演绎推理
例3 如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤f.若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.
答案
解析由题意知,凸函数满足
≤f,
又y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin=.
题型四综合法和分析法的应用
例4 在锐角三角形ABC中,求证:
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
证明:
∵△ABC为锐角三角形,
∴A+B>,∴A>-B,
∵y=sinx在上是增函数,
∴sinA>sin=cosB,
同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,
∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
变式训练设a、b、c均为大于1的正数,且ab=10,求证:
logac+logbc≥4lgc.
(分析法)由于a>
1,b>
1,c>
1,故要证明logac+logbc≥4lgc,只要证明+≥4lgc,即≥4,因为ab=10,故lga+lgb=1.只要证明≥4,由于a>
1,故lga>
0,lgb>
0,所以0<
lgalgb≤2=2=,即≥4成立.所以原不等式成立.
解题要点1.综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出所证结论的真实性.分析法是“由果执因”,先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
2.用分析法证明时要注意书写格式的规范性.
题型五反证法
例5
(1)已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.
(2)用反证法证明命题“如果a>
b,那么>
”时,假设的内容应为______________.
答案
(1)见解析
(2)=或<
解析
(1)证明:
假设a,b,c均小于1,即a<
1,b<
1,c<
1,则有a+b+c<
3,
而a+b+c=2x2-2x++3=22+3≥3,
两者矛盾,所以假设不成立,
故a,b,c至少有一个不小于1.
(2)根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即=或<
.
变式训练(2014·
山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是________.
1方程x3+ax+b=0没有实根
2方程x3+ax+b=0至多有一个实根
3方程x3+ax+b=0至多有两个实根
4方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
解析选① 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.
解题要点 用反证法证明数学命题要把握三点:
(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;
(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;
(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.
当堂练习
1.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式:
22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…;
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,….
根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,p3的分解中最小的正整数是21,则m+p=________.
答案11
解析由归纳推理可知,m=6,p=5,∴m+p=11.
2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):
①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;
②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;
③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是________.
答案2个
解析①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小.
3.观察下列各式:
55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为________.
答案8125
解析5n(n≥5且n∈Z)的后两位数字一定为25,区别在于通过对其后三四位数的观察,55、56、57的后三四位数31、56、81为等差数列,公差为25,由此推{5n}的后两位前的数是以25为公差的等差数列.由公式d=得=25(其中a为52011的后两位前的数),∴a=50181.
4.某同学在电脑上打上了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…,按这种规律往下排,那么第36个圆的颜色应是________.
答案白
解析由题干图知,图形是三白二黑的圆周而复始相继排列,是一个周期为5的三白二黑的圆列,因为36÷
5=7余1,所以第36个圆应与第1个圆颜色相同,即白色.
5.(2014·
陕西卷)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为________.
解析由题意,得f1(x)=f(x)=,
f2(x)==,f3(x)=,…,
由此归纳推理可得f2014(x)=.
课后作业
一、填空题
1.下列推理是归纳推理的是________.
①A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>
|AB|,则
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