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(1)等比级数(几何级数):
(2)级数:
级数的基本性质:
性质1:
若级数收敛于和,则级数(是常数)也收敛,且其和为。
性质2:
若级数和级数分别收敛于和、,则级数也收敛,且其和为。
注意:
如果级数和都发散,则级数可能收敛也可能发散;
而如果两个级数和中有且只有一个收敛,则一定发散。
性质3:
在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛散性。
性质4:
若级数收敛,则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数仍收敛,且其和不变。
该性质的逆命题不成立。
即,若一个级数加括号后的新级数收敛,则不能推出原级数收敛。
推论1:
若加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散。
性质5:
若级数收敛,则。
仅仅是级数收敛的必要条件,而非充分条件。
7.2常数项级数的审敛法
7.2.1正项级数收敛的充要条件
正项级数:
若,则称级数是正项级数。
正项级数收敛的充分必要条件:
它的部分和数列有界(有上界)。
7.2.2正项级数的审敛法
比较审敛法:
设和都是正项级数,且。
则
⑴若级数收敛,则级数收敛;
⑵若级数发散,则级数发散;
推论:
设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在正整数,使得当时有成立,则级数收敛;
如果级数发散,且当时有成立,则级数发散。
比较审敛法的极限形式:
设和均为正项级数,,那么
⑴若,级数和同时收敛或同时发散
⑵若,且级数收敛,则级数收敛
⑶若,且级数发散,则级数发散
比值审敛法:
设为正项级数,如果则
(1)时,级数收敛;
(2)时,级数发散;
(3)时,级数可能收敛也可能发散。
根值审敛法、极限审敛法不考。
7.2.3交错级数及其判别法
莱布尼茨判别法:
如果交错级数满足条件:
⑴
⑵
则级数收敛,且其和满足,余项的绝对值满足。
莱布尼茨定理只是交错级数收敛的一个充分条件,并非必要条件。
当定理中的两个条件不满足时,不能由此判断交错级数是发散的。
7.2.4任意项级数的绝对收敛与条件收敛
任意项级数:
对于一般的常数项级数,其中为任意实数,可以是正数、负数或0,这种级数又称为任意项级数。
对应地,可以构造一个正项级数。
绝对收敛判别法:
定理:
若级数收敛,则级数收敛。
(绝对收敛的级数必收敛。
)
定义:
设为任意项级数,
⑴如果级数收敛,则称级数绝对收敛
⑵如果级数发散,但是级数收敛,则称级数条件收敛。
对于任意项级数敛散性的判别方法:
对于任意项级数,通常先判断它是否绝对收敛,若是,即可得出结论;
若否,则进一步判定它是条件收敛还是发散。
对于任意项级数的比值审敛法:
对任意项级数,设则
(1)若时,则绝对收敛,因而收敛;
(2)若时,则发散;
(3)若时,此法失效。
7.3幂级数
7.3.2幂级数及其收敛性
幂级数:
形如的级数,称为幂级数,其中是任意给定的实数,称为幂级数的系数。
当时,上式变为。
收敛半径与收敛域:
阿贝尔定理:
设幂级数=,若该幂级数在处收敛,则对于满足条件的一切,该级数绝对收敛。
反之,若它在时发散,则对一切适合不等式的,该级数发散。
推论:
如果幂级数不是在上每一点都收敛,也不是只在处收敛,那么必存在一个唯一的正数R,使得:
(1)当时,幂级数收敛;
(2)当时,幂级数发散;
(3)当或时,幂级数可能收敛,也可能发散。
则称这个数为幂级数的收敛半径,称区间为幂级数的收敛区间,幂级数在收敛区间内绝对收敛。
由幂级数在处的收敛性就可以决定它在区间或上收敛,该区间叫做幂级数的收敛域。
(收敛域为收敛区间加上收敛的端点,是幂级数的所有收敛点组成的集合)
和函数:
对于收敛域内的任意一个数,幂级数为该收敛域内的一个收敛的常数项级数,于是有一个确定的和.这样,在收敛域上,随着数的变化,总有一个确定的和与之对应,故幂级数的和是的函数,记为,通常称为幂级数的和函数。
收敛半径的求法:
设幂级数,其系数当时(为某一个正整数),且存在极限则
(1)当时,收敛半径;
(2)当时,收敛半径;
(3)当时,收敛半径。
7.3.3幂级数的性质
加法与减法(收敛性):
设幂级数和的收敛半径分别为和(均为正数),取,则在区间内成立:
=
幂级数的和函数的性质:
设幂级数在内收敛,且其和函数为,则
(1)和函数的连续性:
在内连续.若幂级数在(或)也收敛,则在处左连续(或在处右连续).
(2)逐项求导数:
在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式:
求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。
反复应用该结论可得:
幂级数的和函数在收敛区间内具有任意阶导数。
(3)逐项求积分:
在内可以积分,且有逐项积分公式:
其中是内任一点,积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
经过逐项求导和求积所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径,但区间端点处的收敛性会有所不同。
若逐项求导或逐项积分后的幂级数在处收敛,则或对处也成立,在处有类似的性质。
7.4函数展开成幂级数
7.4.2泰勒级数
7.4.3函数展开成幂级数
常见函数的泰勒展开式:
掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后,当要把函数展开成x-x0的幂级数时,只需要把f(x)转化成x-x0的表达式,把x-x0看成变量t,展开成t的幂级数,即得x-x0的幂级数。
7.5傅里叶级数
7.5.1三角级数、三角函数系的正交性
三角级数:
一般地,称形如的级数为三角级数。
其中()都是常数,称其为该三角函数的系数。
若收敛,其和函数必定是一个以为周期的函数
三角函数系及其正交性:
三角函数系有以下性质:
(1)三角函数系具有共同的周期。
(2)三角函数系在上具有正交性.即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在上的积分都等于零。
()
7.5.2函数展开为傅里叶级数
函数的傅里叶系数:
设是周期为的周期函数,在区间[,]上可积,则
称为函数的傅里叶系数。
傅里叶级数:
以的傅里叶系数为系数的三角级数,称为函数的傅里叶级数,表示为。
Dirichlet定理,收敛定理:
设是以为周期的函数,如果它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点;
(2)在一个周期内,至多只有有限多个极值点(即不作无限次振动)
则的傅里叶级数在上处处收敛,并且
当是的连续点时,级数收敛于;
当是的间断点时,级数收敛于;
非周期函数展开为傅里叶级数:
对于非周期函数,如果函数只在区间[,]上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅里叶级数。
作法:
在区间或外补充f(x)的定义,使它延拓成一个周期为的周期函数F(x),这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓。
将作周期延拓后的函数F(x)展开成傅里叶级数,然后再限制x在区间内,此时显然有F(x)=f(x),这样便得到了f(x)的傅里叶级数展开式,这个级数在区间端点处,收敛于
7.5.3正弦级数与余弦级数
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