精做05 解析几何试题君之大题精做高考数学理解析版Word下载.docx
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(2)过点的直线与椭圆相交于两点,求的面积的最大值.
(2)由题意知直线与轴不重合,设直线的方程为,将其代入中,得,即.设,则,所以,所以,又点到直线的距离为,所以的面积为,设,则,即,设,则易知函数在上单调递增,所以当时,最小,最小值为,所以的面积的最大值为.3已知椭圆与双曲线有共同的焦点,椭圆C的离心率为,点与椭圆上的两点构成的三角形的面积为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:
直线过椭圆的顶点.
(2)因为,所以,又,所以,设的方程为,由消去,得,即,则,从而,点到的距离为,所以的面积为,即,解得,所以直线的方程为,则直线AB过椭圆的顶点.4已知椭圆的左、右焦点分别为,上、下顶点分别是是的中点,若,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆上任意一点,分别是椭圆的左、右顶点,直线与直线分别交于两点,试证:
以为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标.
(2)由
(1)得,设,可得直线的方程为,则直线与直线的交点的坐标为,可得直线的方程为,则直线与直线的交点F的坐标为,再设以为直径的圆交轴于点,则,从而,即由得,则故以为直径的圆交轴于定点,该定点的坐标为或5如图,已知抛物线:
的焦点为,准线与轴的交点为,抛物线上的点关于准线的对称点为.
(1)若时,求抛物线的标准方程;
(2)过点作抛物线的切线及切线的垂线,若切线过点,直线交轴于点,求切线的斜率,并判断和的大小关系.6已知动点在椭圆上,过点作轴的垂线,垂足为(不同于点P),点为的中点.
(1)求点的轨迹的曲线方程;
(2)已知点,,若斜率不为0且不过点的直线与曲线交于两个不同的点,设直线,的斜率分别为,且+=2,求点到直线的距离的取值范围.【解析】
(1)设,轴,且点为的中点,.点在椭圆上,即,点的轨迹的曲线方程为.
(2)设直线的方程为,代入,得,由得,设,由根与系数的关系,得,由得,解得,设点到直线的距离为,则,设,则,易证在上是减函数,点到直线的距离的取值范围是.7已知抛物线的焦点为,且抛物线上的点到原点的距离和到准线的距离均为.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,分别在点,处作抛物线的两条切线交于点,求面积的最小值及此时直线的方程.【解析】
(1)由抛物线得抛物线的焦点为,点到原点的距离和到准线的距离相等,点到原点的距离和到抛物线的焦点的距离相等,点在线段的垂直平分线上,则,又点到抛物线的准线的距离为,即,解得,故抛物线的标准方程为.1(【全国市级联考】江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷(七)如图,已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切,与圆外切
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)过直线上的点作圆的两条切线,设切点分别是,若直线与轨迹交于,两点,求的最小值
(2)设直线上任意一点的坐标是,切点坐标分别是,;
则经过点的切线斜率,方程是,经过点的切线方程是,又两条切线,相交于.则有,所以经过两点的直线的方程是,当时,有,则;
当时,联立,整理得;
设坐标分别为,则,所以,综上所述,当时,有最小值2(【全国百强校】河南省信阳高级中学2019届高三第一次大考)已知直线,是上的动点,过点作的垂线,线段的中垂线交于点,的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)过且与坐标轴不垂直的直线交曲线于两点,若以线段为直径的圆与直线相切,求直线的方程.【解析】
(1)依题意可得,即到定点的距离等于到定直线的距离,所以的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,方程为.3(四川省宜宾市第四中学2018届高三高考适应性考试试题)设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率.
(2)设,直线的斜率为,则直线的方程为,由方程组消去,整理得,解得或,由题意得,从而,设,由
(1)知,有,由,得,所以,解得,因此直线的方程为,设,由方程组消去,得,在中,即,化简得,即,解得或,所以直线的斜率为或.4(【全国省级联考】黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(十)设直线与抛物线交于,两点,与椭圆交于,两点,直线,(为坐标原点)的斜率分别为,若.
(1)是否存在实数,满足,并说明理由;
(2)求面积的最大值.
(1)因为,所以.
(2)根据弦长公式,得:
.根据点到直线的距离公式,得,所以,设,则,所以当,即时,有最大值.【名师点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形5(【全国校级联考】北京市通州区2018届下学期高三年级三模考试数学试卷)已知椭圆过点,且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线交椭圆于,两点,试问:
是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过点?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
(2)由已知动直线过点.当与轴平行时,以为直径的圆的方程为;
当与轴重合时,以为直径的圆的方程为.所以两圆相切于点,即两圆只有一个公共点.因此,所求点如果存在,只能是点.以下证明以为直径的圆恒过点:
当与轴垂直时,以为直径的圆过点;
当与轴不垂直时,设.由.由在椭圆内部知成立.6(【全国校级联考】广东省汕头市潮南区2018届高考(5月)冲刺试题)已知抛物线的焦点为,过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点,抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.
(1)求抛物线的方程;
(2)设是抛物线上异于原点的两个动点,且满足,求面积的取值范围.【解析】
(1)依题意得,由,得,抛物线在处的切线斜率为,由抛物线的对称性,知抛物线在处的切线斜率为,抛物线在A处的切线方程为,令y=0,得,S=,解得.抛物线的方程为.,.直线MN过定点(1,0),.,.综上所示,面积的取值范围是.【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题,意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后,能否利用换元的方法,观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.7(【全国省级联考】黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(五)数学试题)已知椭圆:
的右焦点为,过作互相垂直的两条直线分别与相交于,和,四点.
(1)四边形能否成为平行四边形,请说明理由;
(2)求的最小值.
(2)当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为(),由消去得,同理得,.,令,则,当直线的斜率不存在时,当直线的斜率为零时,.,的最小值为.8(【全国百强校】福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟数学试题)已知椭圆和抛物线,在,上各取两个点,这四个点的坐标为,
(1)求,的方程;
(2)设是在第一象限上的点,在点处的切线与交于两点,线段的中点为,过原点的直线与过点且垂直于轴的直线交于点,证明:
点在定直线上
(2)设,由得,所以切线的方程为:
,设,由得:
由,得,代入得,所以,所以,由得,所以点在定直线上9(【全国百强校】河北省武邑中学2018届高三下学期第五次模拟考试数学试题)在平面直角坐标系中,是轴上的动点,且,过点分别作斜率为,的两条直线交于点,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的两条直线分别交曲线于点和,且,求证:
直线的斜率为定值.
(2),设,则,即,同理,将,代入椭圆方程得,化简得把代入的,得将,代入椭圆方程,同理得代入上式得.即,直线的斜率为定值.1(2018新课标全国理)已知斜率为的直线与椭圆交于,两点,线段的中点为
(1)证明:
;
(2)设为的右焦点,为上一点,且证明:
,成等差数列,并求该数列的公差
(2)由题意得,设,则由
(1)及题设得又点P在C上,所以,从而,于是,同理,所以,故,即成等差数列设该数列的公差为d,则将代入得,所以l的方程为,代入C的方程,并整理得,故,代入解得,所以该数列的公差为或2(2018新课标全国理)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,
(1)求的方程;
(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程
(2)由
(1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即设所求圆的圆心坐标为,则解得或因此所求圆的方程为或3(2018新课标全国理)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:
(2)当l与x轴重合时,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为,则,直线MA,MB的斜率之和为由得将代入得所以,则从而,故MA,MB的倾斜角互补,所以综上,4(2018天津理)设椭圆(ab0)的左焦点为F,上顶点为B已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:
与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q若(O为原点),求k的值
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2)由已知有y1y20,故又因为,而OAB=,故由,可得5y1=9y2由方程组消去x,可得易知直线AB的方程为x+y2=0,由方程组消去x,可得由5y1=9y2,可得5(k+1)=,两边平方,整理得,解得,或所以k的值为5(2018浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上
(1)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+=1(x0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA
(1)当t=4,时,求的面积;
(2)当时,求k的取值范围.【解析】
(1)设,则由题意知,当时,的方程为,.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或,所以.因此的面积.
(2)由题意,.将直线的方程代入得.由得,故.即.由此得,或,解得.因此的取值范围是.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求参数作为函数值,另一个元作为自变量求解7(2016新课标全国I理科)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】
(1)因为,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
().过点且与垂直的直线:
,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四
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