秋季学期新人教A版高中必修二123 空间几何体的直观图导学案Word文档下载推荐.docx

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知识点二　空间几何体直观图的画法

与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.

2.画底面：

平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.

3.画侧棱：

已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

4.成图：

去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

思考　空间几何体的直观图惟一吗？

答　不惟一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.

题型一　画水平放置的平面图形的直观图

例1　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解　画法：

（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°

.

（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.

反思与感悟　1.本例巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.

2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.

跟踪训练1　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠A＝30°

，AD＝3cm，试画出它的直观图.

解　

（1）如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°

（2）在图①中，过点D作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4cm，A′E′＝AE＝≈2.598cm；

过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm.

（3）连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.

题型二　由直观图还原平面图形

例2　如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.

解　①画直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，得△ABC.

则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示.

反思与感悟　由直观图还原平面图形关键有两点：

（1）平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；

（2）对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.

跟踪训练2　如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长.

解　如图为原平面图形.

由斜二测画法可知，

OB＝2O′B′＝2cm，OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1cm，且AB∥OC，∠BOC＝90°

所以四边形OABC为平行四边形，

且BC＝＝＝3（cm），

故平行四边形OABC的周长为2（OC＋BC）＝8（cm）.

题型三　空间几何体的直观图

例3　如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

解　

（1）作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；

（2）再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；

（3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.

图3

反思与感悟　1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.

2.直观图画法口诀可以总结为：

“一斜、二半、三不变”.

跟踪训练3　由如图所示几何体的三视图画出直观图.

解　

（1）画轴.如图（图1），画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°

，∠xOz＝90°

（2）画底面.作水平放置的三角形（俯视图）的直观图△ABC.

（3）画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.

（4）成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理（擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示），得到的图形就是所求的几何体的直观图（图2）.

图1　　　　　　　　　　图2

求直观图的面积

例4　已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的等边三角形，那么△ABC的面积为（　　）

A.a2B.a2C.a2D.a2

分析　求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高.

解析　如图①为直观图，②为实际图形，取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°

的直线为y′轴，过点A′作A′N′∥O′x′.交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于点M′，则在Rt△A′O′M′中，

因为O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°

，所以M′O′＝A′O′＝A′N′＝a，故A′M′＝a.

在平面直角坐标系中，在x轴上方y轴左侧取到x轴距离为a，到y轴距离为a的点A，则△ABC为所求.显然S△ABC＝a·

a＝a2.

答案　C

解后反思　

（1）在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成45°

角，且长度为原来的一半的线段，以此为据来求出直观图中的高线即可.

（2）关于直观图面积的一个结论：

若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝S.

用斜二测画法画出所给图形的直观图

例5　画出如图所示的四边形OABC的直观图，其中OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4.

分析　根据已知条件可得OC⊥OB，AD⊥OB，因此可以以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，结合斜二测画法的规则，可以作出所给图形的直观图.

解　以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①所示.作∠C′O′B′＝45°

，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过点D′作∠B′D′A′＝135°

，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图（如图②所示）.

解后反思　本题在确定点A′和点C′时容易出错.牢固掌握斜二测画法的规则是处理此类问题的关键.

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（　　）

A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点

答案　B

解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.

2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是（　　）

解析　根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C.

3.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为（　　）

A.a2B.a2C.a2D.a2

答案　D

解析　方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.

如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°

，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积是S＝·

A′B′·

C′D′＝·

a·

方法二　S△ABC＝a2，而＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×

a2＝a2.

4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为_______.

答案　10

解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×

（3＋2）＝10.

5.已知如图所示的直观图△A′O′B′，则其平面图形的面积为_______.

答案　6

解析　由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°

，OB＝3，OA＝4，

∴S△AOB＝OA·

OB＝6.

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；

在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：

＝.

2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

一、选择题

1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°

，则在直观图中∠A′等于（　　）

A.45°

B.135°

C.45°

或135°

D.90°

解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°

2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是（　　）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.任意三角形

解析　因为A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.

3.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　）

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

解析　因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5cm.

4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（　　）

A.ABB.ADC.BCD.AC

解析　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.

5.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是（　　）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

解析　由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形.

6.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB平行于y′轴，BC，AD平行于x′轴.已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形