概率论与数理统计复习要点Word文档下载推荐.docx

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，事件发生事件A必不发生，反之也成立；

互逆满足注：

互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。

）3.事件的三大运算事件的并：

，事件A与事件B至少有一个发生。

若，则；

事件的交：

，事件A与事件B都发生；

事件的差：

，事件A发生且事件B不发生。

4.事件的运算规律交换律：

结合律：

分配律：

德摩根（DeMorgan）定律：

对于n个事件，有二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义：

设试验的样本空间为，对于任一随机事件都有确定的实值P（A），满足下列性质：

（1）非负性：

（2）规范性：

（3）有限可加性（概率加法公式）：

对于k个互不相容事件，有.则称P（A）为随机事件A的概率.2概率的性质若，则注：

性质的逆命题不一定成立的.如若则。

（）若，则。

（）三、古典概型的概率计算古典概型：

若随机试验满足两个条件：

1只有有限个样本点,每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,。

典型例题：

设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则

（1）在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为

（2）在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为四、条件概率及其三大公式1.条件概率：

2.乘法公式：

4.全概率公式：

若，则。

5.贝叶斯公式：

若事件如全概率公式所述，且.五、事件的独立1.定义：

.推广：

若相互独立，2.在四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。

3.三个事件A,B,C两两独立：

n个事件的两两独立与相互独立的区别。

（相互独立两两独立，反之不成立。

）4.伯努利概型：

练习：

一、判断正误1.事件的对立与互不相容是等价的。

（X）2.若则。

（X）3.。

（X）4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为。

（）5.n个事件若满足，则n个事件相互独立。

（X）6.当时，有P（B-A）=P（B）-P（A）。

（）二、选择题1设A,B为两事件，则P（A-B）等于（C）A.P（A）-P（B）B.P（A）-P（B）+P（AB）C.P（A）-P（AB）D.P（A）+P（B）-P（AB）2以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为（D）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销”3若A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（A）A.P（AB）=P（A）B.P（AB）=P（A）C.P（B|A）=P（B）D.P（B-A）=P（B）-P（A）4设，则等于（B）A.B.C.D.三、解答题1.解：

（1）因为A，B不相容，有所以

（2）因为A，B独立，所以,2.已知且求的值.解：

由概率乘法公式得3.设有来自三个地区的各10名,15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.求先抽到的一份是女生表的概率p。

解:

设表示“第i次取出的报名表是女生表”,i=1,2表示“报名表是取自第j区的考生”,j=1,2,3.根据题意得第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义设样本空间为，变量为定义在上的单值实值函数，则称为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。

二、分布函数及其性质1.定义：

设随机变量，对于任意实数，函数称为随机变量的概率分布函数，简称分布函数。

当时，

（1）X是离散随机变量，并有概率函数则有

（2）X连续随机变量，并有概率密度f（x），则.2.分布函数性质：

（1）F（x）是单调非减函数，即对于任意x11）解:

（1）由概率密度的性质得故A=20.

（2）当x0时，当0x1时，当x1时,所以X的分布函数为第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）1定义：

2期望的性质：

3.随机变量函数的数学期望4.计算数学期望的方法

（1）利用数学期望的定义；

（2）利用数学期望的性质；

常见的基本方法：

将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.（3）利用常见分布的期望；

二、方差1方差注：

D（X）=EX-E（X）20；

它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D（X）值越大（小），表示X取值越分散（集中）。

2方差的性质（4）对于任意实数CR，有E（X-C）2D（X）当且仅当C=E（X）时,E（X-C）2取得最小值D（X）.（5）（切比雪夫不等式）:

设X的数学期望E（X）与方差D（X）存在,对于任意的正数有或3.计算

（1）利用方差定义；

（2）常用计算公式（3）方差的性质；

（4）常见分布的方差.注：

常见分布的期望与方差1.若XB（n,p）,则E（X）=np,D（X）=npq;

2.若3.若XU（a,b）,则4.若5.若三、原点矩与中心矩（总体）X的k阶原点矩：

（总体）X的k阶中心矩：

练习一、判断正误：

1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。

（X）2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。

（）3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。

（X）4.方差的实质是随机变量函数的期望。

（）5.对于任意的X,Y，都有成立。

（X）二、选择题1.则的值为（B）A.4,0.6；

B.6,0.4；

C.8,0.3；

D.24,0.12.随机变量X的数字期望为2，方差等于4，则ED（X）,DE（X）的值分别为（D）A.X,X；

B.2,4；

C.4,2；

D.4,0.3.两个独立的随机变量X,Y的方差分别为4和2，则随机变量X-2Y的方差等于:

（C）A.0；

B.8；

C.12；

D.无法计算.4.则对于任意的常数c,有（D）；

5.，则对于任意给定的有（D）三、填空题1.设则的数学期望为_。

四、计算题1.设X的概率密度为试求.解：

故2游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行。

一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望.解：

因故其概率密度为由题意得所以第四章正态分布一、正态分布的定义1.正态分布，其概率密度为其分布函数为注：

.正态密度函数的几何特性：

2.标准正态分布当时，其密度函数为且其分布函数为的性质：

3.正态分布与标准正态分布的关系定理：

若则.定理：

设则二、正态分布的数字特征设则1.期望E（X）2.方差D（X）3.标准差三、正态分布的性质1线性性.设则；

2可加性.设且X和Y相互独立，则3线性组合性设，且相互独立，则四、中心极限定理1.独立同分布的中心极限定理设随机变量相互独立，服从相同的分布，且则对于任何实数x，有定理解释：

若满足上述条件，有

（1）；

（3）2.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设则定理解释：

若当n充分大时，有

（1）；

（2）练习：

一、判断题1.若则（X）2.若则（）二、选择题1.若则（B）A1B.6C.5D.无法计算2.若且相互独立，则服从（C）分布.A.N（0,1）B.N（-6,-1）C.N（-6,13）D.N（-6,-5）3.设随机变量X与Y均服从正态分布：

三、填空题1.已知连续随机变量X的概率密度函数为则X的数学期望为_1_;

X的方差为_1/2_.四、计算题1.解：

得由独立同分布的中心极限定理，第五章数理统计的基本知识一、总体个体样本1.总体：

把研究对象的全体称为总体（或母体）.它是一个随机变量，记X.2.个体：

总体中每个研究对象称为个体.即每一个可能的观察值.3.样本：

从总体X中，随机地抽取n个个体,称为总体X的容量为n的样本。

样本是一个n维的随机变量；

本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2个特性：

代表性：

中每一个与总体X有相同的分布.独立性：

是相互独立的随机变量.4.样本的联合分布设总体X的分布函数为F（x），则样本的联合分布函数为

（1）设总体X的概率密度函数为f（x）,则样本的联合密度函数为

（2）设总体X的概率函数为,则样本的联合概率函数为二、统计量1.定义不含总体分布中任何未知参数的样本函数称为统计量,是的观测值.注：

（1）统计量是随机变量；

（2）统计量不含总体分布中任何未知参数；

（3）统计量的分布称为抽样分布.2.常用统计量

（1）样本矩样本均值；

其观测值.可用于推断：

总体均值E（X）.样本方差;

其观测值可用于推断：

总体方差D（X）.样本标准差其观测值样本k阶原点矩其观测值样本k阶中心矩其观测值注：

比较样本矩与总体矩，如样本均值和总体均值E（X）；

样本方差与总体方差D（X）；

样本k阶原点矩与总体k阶原点矩；

样本k阶中心矩与总体k阶原点矩.前者是随机变量，后者是常数.

（2）样本矩的性质:

设总体X的数学期望和方差分别为，为样本均值、样本方差，则3.抽样分布：

统计量的分布称为抽样分布.三、3大抽样分布

（1）定义.设相互独立，且，则注：

若则

（2）性质（可加性）设相互独立，且则2.t分布设X与Y相互独立,且则注：

t分布的密度图像关于t=0对称；

当n充分大时，t分布趋向于标准正态分布N（0,1）.3.F分布

（1）定义.设X与Y相互独立，且则

（2）性质.设则.四、分位点定义：

对于总体X和给定的若存在，使得则称为X分布的分位点。

常见分布的分位点表示方法

（1）分布的分位点

（2）分布的分位点其性质：

（3）分布的分位点其性质（4）N（0,1）分布的分位点有第六章参数估计一、点估计1.定义设为来自总体X的样本，为X中的未知参数，为样本值，构造某个统计量作为参数的估计，则称为的点估计量，为的估计值.2.常用点估计的方法：

矩估计法和最大似然估计法.二、矩估计法1.基本思想:

用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.2.求总体X的分布中包含的m个未知参数的矩估计步骤：

求出总体矩,即；

用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：

解上述方程（或方程组）得到的矩估计量为：

的矩估计值为：

3.矩估计法的优缺点：

优点：

直观、简单;

只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.缺点：

没有充分利用总体分布提供的信息；

矩估计量不具有唯一性；

可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1.直观想法：

在试验中，事件A的概率P（A）最大,则A出现的可能性就大；

如果事件A出现了，我们认为事件A的概率最大.2.定义设总体X的概率函数或密度函数为（或），其中参数未知，则X的样本的联合概率函数（或联合密度函数）（或）称为似然函数.3.求最大似然估计的步骤：

（1）求似然函数:

X离散：

X连续：

（2）求和似然方程：

（3）解似然方程，得到最大似然估计值：

（4）最后得到最大似然估计量：

4.最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X