苏科版七年级下 941完全平方公式汇编.docx
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苏科版七年级下941完全平方公式汇编
苏科版七年级下9.3
(1)完全平方公式
一.选择题(共8小题)
1.下列运算中,正确的是( )
A.(a+b)2=a2+b2B.(﹣x﹣y)2=x2+2xy+y2
C.(x+3)(x﹣2)=x2﹣6D.(﹣a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
2.若(a+b)2=(a﹣b)2+A,则A为( )
A.2abB.﹣2abC.4abD.﹣4ab
3.不论x,y为何有理数,x2+y2﹣10x+8y+45的值均为( )
A.正数B.零C.负数D.非负数
4.若|a﹣b|=1,则b2﹣2ab+a2的值为( )
A.1B.﹣1C.±1D.无法确定
5.己知(x﹣y)2=49,xy=2,则x2+y2的值为( )
A.53B.45C.47D.51
6.如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为( )
A.3B.6C.±3D.±6
7.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.a(a+b)=a2+abD.a(a﹣b)=a2﹣ab
8.用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=6B.x﹣y=2C.x•y=8D.x2+y2=36
二.填空题(共10小题)
9.若a+b=5,ab=6,则a2+b2= .
10.已知a+=3,则a2+的值是 .
11.已知x2﹣5x+1=0,则x2+= .
12.若(x+y)2=11,(x﹣y)2=7,则xy的值为 .
13.仔细观察杨辉三角系数表,按规律写出(a+b)4展开式所缺的系数:
(a+b)=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+ a2b2+4ab3+b4.
14.已知a>b,ab=2且a2+b2=5,则a﹣b= .
15.已知(a+b)2=8,(a﹣b)2=5,则a2+b2= ,ab= .
16.若a+b=3,ab=1,则a2+3ab+b2= .
17.己知a2+ab+b2=7,a2﹣ab+b2=9,则(a+b)2= .
18.如图,边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是 .(用含m的代数式表示)
三.解答题(共7小题)
19.计算:
x(x+1)﹣(x﹣1)2.
20.计算:
2x(x﹣2y)﹣(2x﹣y)2.
21.已知(x+y)2=49,(x﹣y)2=1,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)xy.
22.
(1)比较a2+b2与2ab的大小(用“>”、“<”或“=”填空):
①当a=3,b=2时,a2+b2 2ab,
②当a=﹣1,b=﹣1时,a2+b2 2ab,
③当a=1,b=﹣2是,a2+b2 2ab.
(2)猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系?
并证明你的结论.
23.先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:
若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0,求m和n的值.
解:
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴(m+n)2+(n﹣3)2=0
∴m+n=0,n﹣3=0
∴m=﹣3,n=3
问题
(1)若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0,求xy的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b﹣41,且c是△ABC中最长的边,求c的取值范围.
24.如图1是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图2形状拼成一个正方形.
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为 ;
(2)观察并分析图2中阴影部分面积的不同表示方法,你能写出(m+n)2,(m﹣n)2,mn三个代数式之间的等量关系吗?
(3)根据
(2)题中等量关系,解决下列问题:
若m+n=5,mn=4,求m﹣n的值.
25.把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不规则图形的面积.
(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么结论,请写出来.
(2)如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗?
苏科版七年级下9.3
(1)完全平方公式
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.(2015春•罗湖区期末)下列运算中,正确的是( )
A.(a+b)2=a2+b2B.(﹣x﹣y)2=x2+2xy+y2
C.(x+3)(x﹣2)=x2﹣6D.(﹣a﹣b)(a+b)=a2﹣b2
【分析】根据完全平方式,把A、B项展开,多项式乘以多项式的法则把C、D项展开,然后与等式右边对比即可判断正误.
【解答】解:
A、(a+b)2=a2+2ab+b2≠a2+b2,故本选项错误;
B、(﹣x﹣y)2=x2+2xy+y2,故本选项正确;
C、(x+3)(x﹣2)=x2+x﹣6≠x2﹣6,故本选项错误;
D、(﹣a﹣b)(a+b)=﹣(a+b)2≠a2﹣b2,故本选项错误.
故选:
B.
【点评】本题主要考查完全平方式和多项式的乘法法则,熟练掌握公式和法则是求解的关键.
2.(2016秋•罗庄区期末)若(a+b)2=(a﹣b)2+A,则A为( )
A.2abB.﹣2abC.4abD.﹣4ab
【分析】把A看作未知数,只需将完全平方式展开,用(a+b)2﹣(a﹣b)2即可求得A.
【解答】解:
∵(a+b)2=a2+2ab+b2,(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,
∴A=(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.
故选C.
【点评】此题主要考查了完全平方式:
(a+b)2=a2+2ab+b2与(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2两公式的联系,它们的差是两数乘积的四倍.
3.(2016春•苏州期末)不论x,y为何有理数,x2+y2﹣10x+8y+45的值均为( )
A.正数B.零C.负数D.非负数
【分析】根据完全平方公式对代数式整理,然后再根据平方数非负数的性质进行判断.
【解答】解:
x2+y2﹣10x+8y+45,
=x2﹣10x+25+y2+8y+16+4,
=(x﹣5)2+(y+4)2+4,
∵(x﹣5)2≥0,(y+4)2≥0,
∴(x﹣5)2+(y+4)2+4>0,
故选:
A.
【点评】此题主要考查完全平方式和平方数非负数的性质,比较简单.
4.(2016春•盐城校级期中)若|a﹣b|=1,则b2﹣2ab+a2的值为( )
A.1B.﹣1C.±1D.无法确定
【分析】先把b2﹣2ab+a2化成完全平方式,然后讨论a﹣b的正负性,最后求解.
【解答】解:
b2﹣2ab+a2=(a﹣b)2,
又∵|a﹣b|=1
∴a﹣b=1或﹣1,
∴b2﹣2ab+a2=(a﹣b)2=1.
故选A.
【点评】本题主要考查完全平方公式的逆用,熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键.
5.(2016春•宝应县期末)己知(x﹣y)2=49,xy=2,则x2+y2的值为( )
A.53B.45C.47D.51
【分析】原式利用完全平方公式变形,将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解:
∵(x﹣y)2=49,xy=12,
∴x2+y2=(x﹣y)2+2xy=49+4=53.
故选:
A.
【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
6.(2016春•怀柔区期末)如果x2+mx+9是一个完全平方式,则m的值为( )
A.3B.6C.±3D.±6
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍,故m=±6.
【解答】解:
∵(x±3)2=x2±6x+9,
∴在x2+mx+9中,m=±6.
故选D.
【点评】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
7.(2016春•莘县期末)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.a(a+b)=a2+abD.a(a﹣b)=a2﹣ab
【分析】根据图形,左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积,然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.
【解答】解:
大正方形的面积=(a﹣b)2,
还可以表示为a2﹣2ab+b2,
∴(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2.
故选B.
【点评】正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键,也考查了对完全平方公式的理解能力.
8.(2016春•扬州期末)用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不正确的是( )
A.x+y=6B.x﹣y=2C.x•y=8D.x2+y2=36
【分析】根据正方形的面积分别求出小正方形和大正方形的边长,然后结合图形列出关于x、y的方程,求出x、y的值,分别计算即可得解.
【解答】解:
∵大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,
∴大正方形的边长是6,中间空缺的小正方形的边长为2,
∴x+y=6①,x﹣y=2②,
①+②得,2x=8,
解得x=4,
①﹣②得,2y=4,
解得y=2,
∴x•y=2×4=8,x2+y2=22+42=20,
∴关系式中不正确的是x2+y2=36.
故选D.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景,主要利用了正方形的面积与边长的关系,观察图形得到长方形的长与宽的关系式是解题的关键.
二.填空题(共10小题)
9.(2016春•北京期末)若a+b=5,ab=6,则a2+b2= 13 .
【分析】先把a+b=5两边平方得(a+b)2=25,展开为a2+2ab+b2=25,再整体代入计算即可.
【解答】解:
a2+b2=(a+b)2﹣2ab=13.
【点评】本题考查了完全平方公式的运用,一般情况下a2+b2与(a+b)2有着内在的联系,此题经常是通过完全平方式和整体代入ab的值来求得a2+b2的值.
10.(2016春•惠安县期末)已知a+=3,则a2+的值是 7 .
【分析】把已知条件两边平方,然后整理即可求解.完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.
【解答】解:
∵a+=3,
∴a2+2+=9,
∴a2+=9﹣2=7.
故答案为:
7.
【点评】本题主要考查了完全平方公式,利用公式把已知条件两边平方是解题的关键.
11.(2016春•淮阴区期末)已知x2﹣5x+1=0,则x2+= 23 .
【分析】将方程x2﹣5x+1=0,两边同时除以x,可得出x+=5,再平方可得出的值.
【解答】解:
∵x2﹣5x+1=0,
∴x+=5(方程两边同时除以x),
故可得则+2=25,
解得:
=23
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