山东省垦利第一中学等四校届高三上学期期末考试数.docx
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山东省垦利第一中学等四校届高三上学期期末考试数
高三文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则()
A.B.C.D.
2.下列函数中,图象是轴对称图形且在区间上单调递减的是()
A.B.C.D.
3.若,满足约束条件则的最大值为()
A.B.C.D.
4.若角终边过点,则()
A.B.C.D.
5.已知双曲线(,)的焦点到渐近线的距离为,且离心率为2,则该双曲线的实轴长为()
A.B.C.D.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()
A.B.C.D.
7.如图,六边形是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则恰好取在图中阴影部分的概率是()
A.B.C.D.
8.函数的图象向右平移()个单位后,得到函数的图象,若为偶函数,则的值为()
A.B.C.D.
9.如图是2017年第一季度中国某五省情况图,则下列陈述正确的是()
①2017年第一季度总量高于4000亿元的省份共有3个;
②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的总量均实现了增长;
③去年同期的总量前三位依次是省、省、省;
④2016年同期省的总量居于第四位.
A.①②B.②③④C.②④D.①③④
10.已知抛物线与直线相交于、两点,为坐标原点,设,的斜率为,,则的值为()
A.B.C.D.
11.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为:
甲子、乙丑、丙寅,…,癸酉,甲戌,乙亥,丙子,…,癸未,甲申、乙酉、丙戌,…,癸巳,…,共得到60个组成,周而复始,循环记录,2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的()
A.己亥年B.戊戌年C.辛丑年D.庚子年
12.已知函数,若关于的方程的不同实数根的个数为,则的所有可能值为()
A.3B.1或3C.3或5D.1或3或5
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数则.
14.已知单位向量,,且,若向量,则.
15.已知正四棱柱的顶点在同一个球面上,且球的表面积为,当正四棱柱的体积最大时,正四棱柱的高为.
16.在如图所示的平面四边形中,,,为等腰直角三角形,且,则长的最大值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.若数列的前项和满足(,).
(1)证明:
数列为等比数列,并求;
(2)若,(),求数列的前项和.
18.在中,,,,是中点(如图1).将沿折起到图2中的位置,得到四棱锥.
(1)将沿折起的过程中,平面是否成立?
并说明你的结论;
(2)若,过的平面交于点,且为的中点,求三棱锥的体积.
19.为研究某种图书每册的成本费(元)与印刷数(千册)的关系,收集了一些数据并作了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值.
15.25
3.63
0.269
2085.5
0.787
7.049
表中,.
(1)根据散点图判断:
与哪一个更适宜作为每册成本费(元)与印刷数(千册)的回归方程类型?
(只要求给出判断,不必说明理由)
(2)根据
(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程(回归系数的结果精确到0.01);
(3)若每册书定价为10元,则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元?
(假设能够全部售出,结果精确到1)
(附:
对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,)
20.已知椭圆:
()上动点到两焦点,的距离之和为4,当点运动到椭圆的上顶点时,直线恰与以原点为圆心,以椭圆的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为,,若、交直线于、两点.问以为直径的圆是否过定点?
若是,请求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
21.已知函数有两个极值点,().
(1)求实数的取值范围;
(2)设,若函数的两个极值点恰为函数的两个零点,当时,求的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(限定,).
(1)写出曲线的极坐标方程,并求与交点的极坐标;
(2)射线()与曲线与分别交于点、(、异于原点),求的取值范围.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数().
(1)求关于的不等式的解集;
(2)记的最小值为,证明:
.
高三文科数学答案
一、选择题
1-5:
6-10:
11、12:
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解:
(1)∵,
当时,得,
当时,,
故,
即,
∴,
∴是以为首项,2为公比的等比数列,
∴.
(2)∵,得,
∴,
∴
,
∴.
18.解:
(1)将沿折起过程中,平面成立.
证明:
∵是中点,∴,
在中,由余弦定理得,
,
∴,
∵,
∴为等腰直角三角形且,
∴,,,
∴平面.
(2)∵,
∴为等边三角形,
取中点,连接,则,,
由
(1)知,平面,平面,
∴平面平面,
∴平面,
∴三棱锥的高.
∵为中点,∴,.
∴.
19.解:
(1)由散点图判断,适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程.
(2)令,先建立关于的线性回归方程,
由于,
∴,
∴关于的线性回归方程为,
从而关于的回归方程为.
(3)假设印刷千册,依题意,,
即,
∴,
∴至少印刷10千册.
20.解:
(1)由椭圆定义可知,,
若点运动到椭圆的左右顶点时,与圆一定相交,故点只能为椭圆的上下顶点,不妨设点为上顶点时,
直线:
,故,解得,
故椭圆的标准方程为.
(2)设,点,则,,
由,得,
直线方程为:
,令,,故;
直线方程为:
,令,则,故;
∵,故以为直径的圆与轴交于两点,设为,,在以为直径的圆中应用相交弦定理得:
,
∵∴,
从而以为直径的圆恒过两个定点,.
21.解:
(1)的定义域为,
,
令,即,要使在上有两个极值点,
则方程有两个不相等的正根,
则解得,
即.
(2),
由于,为的两个零点,
即,,
两式相减得:
.
∴,
又,
∴,
故,
设,∵,为的两根,
∴故,
∴,又,
即,
解得或,
因此,
此时,
,
即函数在单调递减,
∴当时,取得最小值,
∴.
即所求最小值为.
22.解:
(1)曲线的直角坐标方程为,
把,代入,
得;
联立得,
①当时,,,得交点为,
②当时,,得.
当时,,,得交点坐标为;
当时,,,得交点坐标为,
∴与的交点坐标为,,.
(2)将代入方程中,得,
代入方程中,得,
∴,
∵,
∴,
∴的取值范围为.
23.解:
(1)当时,,
由,得,
又,∴,
∴;
当时,,
由,得,
∴;
当时,,
由,得,
又,∴,
∴,
∴不等式的解集为.
(2),
∴,
又,
∴,∴,∴
∴.
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