学年高中数学 第一章 三角函数 43 单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质学案 北师大版必修4.docx
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学年高中数学第一章三角函数43单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质学案北师大版必修4
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.
知识点 正弦、余弦函数的性质
思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少?
答案 设任意角x的终边与单位圆交于点P(cosx,sinx),当自变量x变化时,点P的横坐标是cosx,|cosx|≤1,纵坐标是sinx,|sinx|≤1,所以正弦函数、余弦函数的最大值为1,最小值为-1.
思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的?
答案 不能,右半圆可以表示无数个区间,只能说正弦函数在每一个区间(k∈Z)上是增加的.
梳理 正弦、余弦函数的性质
正弦函数(y=sinx)
余弦函数(y=cosx)
定义域
R
值域
[-1,1]
最小值
当x=-+2kπ,k∈Z时,ymin=-1
当x=π+2kπ,k∈Z时,ymin=-1
最大值
当x=+2kπ,k∈Z时,ymax=1
当x=2kπ,k∈Z时,ymax=1
周期性
周期函数,最小正周期为2π
单调性
在区间,k∈Z上是增加的;
在区间,k∈Z上是减少的
在区间[2kπ,π+2kπ],k∈Z上是减少的;
在区间[π+2kπ,2π+2kπ],k∈Z上是增加的
1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )
提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.
2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )
提示 正弦函数在第一象限不是增函数,因为在第一象限,如-<,但sin=sin=,sin=,sin>sin.
3.存在实数x,使得cosx=.( × )
提示 余弦函数最大值为1.
4.余弦函数y=cosx在区间[0,π]上是减函数.( √ )
提示 由余弦函数的单调性可知正确.
类型一 正弦、余弦函数的定义域
例1 求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=lg+.
考点 正弦函数、余弦函数的定义域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
解
(1)自变量x应满足2sinx-≥0,
即sinx≥.
图中阴影部分就是满足条件的角x的范围,即.
(2)由题意知,自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
∴.
反思与感悟
(1)求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.
跟踪训练1 函数y=的定义域为.
考点 正弦函数、余弦函数的定义域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
答案 ,k∈Z
解析 要使有意义,
则必须满足2sinx+1≥0,
即sinx≥-,
结合单位圆,知x的取值范围是,k∈Z.
类型二 正弦、余弦函数的值域与最值
例2
(1)求函数y=cosx的值域.
考点 正、余弦函数的值域
题点 正、余弦函数的值域
解 ∵y=cosx在区间上是增加的,
在区间上是减少的,
∴当x=0时,ymax=1,
当x=时,ymin=cos=-,
∴y=cosx的值域是.
(2)已知函数y=asinx+1的最大值为3,求它的最小值.
考点 正、余弦函数的最值
题点 含参正、余弦函数的最值
解 当a>0时,ymax=a×1+1=3,得a=2,
∴当sinx=-1时,ymin=2×(-1)+1=-1;
当a<0时,ymax=a×(-1)+1=3,得a=-2,
∴当sinx=1时,ymin=-2×1+1=-1.
∴它的最小值为-1.
反思与感悟
(1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域,解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.
(2)对于含有参数的值域或最值,应注意对参数分类讨论.
跟踪训练2 函数y=2+cosx,x∈的值域为.
考点 正、余弦函数的值域
题点 正、余弦函数的值域
答案
解析 由单位圆,可知当x∈时,cosx∈,所以2+cosx∈,所以函数y=2+cosx,x∈的值域为.
类型三 正弦、余弦函数的单调性
例3 函数y=cosx的一个递增区间为( )
A.B.(0,π)C.D.(π,2π)
考点 正、余弦函数的单调性
题点 求正、余弦函数的单调区间
答案 D
解析 ∵y=cosx的递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,
令k=1得[π,2π],即为y=cosx的一个递增区间,而(π,2π)⊆[π,2π],故选D.
反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间,特别注意不连贯的单调区间不能并.
跟踪训练3 求下列函数的单调区间.
(1)y=sinx,x∈[-π,π];
(2)y=cosx,x∈[-π,π].
考点 正、余弦函数的单调性
题点 求正、余弦函数的单调区间
解
(1)y=sinx在x∈[-π,π]上的递增区间为,递减区间为,.
(2)y=cosx在x∈[-π,π]上的递增区间为[-π,0],递减区间为[0,π].
1.函数y=cosx-1的最小值是( )
A.0B.1C.-2D.-1
考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值
题点 余弦函数的最大值与最小值
答案 C
解析 cosx∈[-1,1],所以y=cosx-1的最小值为-2.
2.不等式sinx-1≥0的解集为.
考点 解三角不等式
题点 解三角不等式
答案
解析 由sinx-1≥0得,sinx≥.
由单位圆可得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
3.函数f(x)=-2sinx+1的最大值为.
答案 3
解析 因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=-1时,f(x)取最大值2+1=3.
4.求y=-2sinx,x∈的值域.
考点 正、余弦函数的值域
题点 正、余弦函数的值域
解 由x∈,得sinx∈,
∴y∈[-2,1],
∴y=-2sinx,x∈的值域为[-2,1].
利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质,能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识,同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.
一、选择题
1.函数y=+的定义域是( )
A.[kπ,k+1π](k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)
考点 正弦函数、余弦函数的定义域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
答案 B
解析 由已知,得∴
∴2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z).
2.函数y=sin2x的递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)
D.(k∈Z)
考点 正弦函数、余弦函数的单调性
题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断
答案 B
解析 由2kπ+≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴y=sin2x的递减区间是(k∈Z).
3.函数y=lg的定义域为( )
A.B.,k∈Z
C.,k∈ZD.R
考点 正弦函数、余弦函数的定义域
题点 正弦函数、余弦函数的定义域
答案 C
解析 ∵cosx->0,∴cosx>,
∴2kπ- ∴函数y=lg的定义域为,k∈Z. 4.函数y=4sinx+3在[-π,π]上的递增区间为( ) A.B. C.D. 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 B 解析 y=sinx的递增区间就是y=4sinx+3的递增区间. 5.y=3cosx,x∈的最大值与最小值分别为( ) A.3,-3B.3,- C.3,D.3,- 考点 正、余弦函数的最值 题点 求正、余弦函数的最值 答案 A 6.在[0,2π]内,使sinx≥成立的x的取值范围是( ) A.B.C.D. 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式 答案 B 7.已知f(x)=cos,x∈Z,则f(x)的值域为( ) A.B. C.D. 考点 余弦函数的值域 题点 余弦函数的值域 答案 A 二、填空题 8.y=cosx,x∈的递增区间为. 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 , 9.满足sinα-cosα>0的α的取值范围是. 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式 答案 解析 由图可解. 10.y=3sinx,x∈的值域为. 考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域 答案 解析 借助单位圆可知,函数f(x)=sinx,x∈在x=处取最大值1,在x=-和x=处同时取得最小值-,即-≤sinx≤1,所以-≤3sinx≤3. 11.下列说法正确的是.(只填序号) ①y=|sinx|的定义域为R; ②y=3sinx+1的最小值为1; ③y=-sinx为周期函数; ④y=sinx-1的递增区间为(k∈R). 考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 答案 ①③ 解析 对于②,y=3sinx+1的最小值为-3+1=-2;对于④,y=sinx-1的递增区间为,k∈Z,故②④错,填①③. 三、解答题 12.已知函数y=acosx+b的最大值是0,最小值是-4,求a,b的值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值 解 当a>0时,解得 当a<0时,解得 ∴a=2,b=-2或a=b=-2. 13.已知函数f(x)=. (1)判定函数f(x)是否为周期函数; (2)求函数f(x)的递增区间; (3)当x∈时,求f(x)的值域. 考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 解 (1)函数f(x)的定义域是R. 因为f(x+2π)===f(x),所以f(x)是周期函数. (2)由正弦函数的基本性质,可知在区间(k∈Z)上,函数y=sinx是增加的,而此时函数h(x)=2-sinx是减函数,从而可知此时函数f(x)是增函数, 故可知函数f(x)的递增区间为(k∈Z). (3)设t=sinx, 则t∈, 所以1≤2-t<,则<≤1. 故f(x)的值域为. 四、探究与拓展 14.函数y=-cosx,x∈(0,2π),其单调性是( ) A.在(0,π)上是增加的,在[π,2π)上是减少的 B.在,上是增加的,在上是减少的 C.在[π,2π)上是增加的,在(0,π)上是减少的 D.在上是增加的,在,上是减少的 考点 正、余弦函数的单调性 题点 正、余弦函数的单调性 答案 A 15.已知f(x)=-sinx. (1)试写出f(x)的单调区间; (2)若f(x)在上是减少的,求实数a的取值范围. 考点 正弦函数的单调性 题点 正弦函数的单调性综合 解 (1)∵f(x)=-sinx, 根据正弦函数y=sinx的单调性可知, f(x)在(k∈Z)上是减少的, 在(k∈Z)上是增加的. (2)∵f(x)在上是减少的, ∴⊆,
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