版高考数学理培优增分一轮全国经典版培优讲义第5章 第3讲等比数列及其前n项和 含答案 精品Word文档下载推荐.docx
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an=ap·
aq=a.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·
bn},(λ≠0)仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
(6)等比数列{an}满足或时,{an}是递增数列;
满足或时,{an}是递减数列.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.( )
(2)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )
(3)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )
(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( )
(5)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×
2.[2018·
河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=3,a9=a2a3a4,则公比q的值为( )
A.B.C.2D.3
答案 D
解析 由a9=a2a3a4得a1q8=aq6,所以q2=a,因为等比数列{an}的各项都为正数,所以q=a1=3.故选D.
3.[课本改编]等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )
A.B.-C.D.-
答案 C
解析 由已知条件及S3=a1+a2+a3,得a3=9a1,设数列{an}的公比为q,则q2=9.
所以a5=9=a1·
q4=81a1,得a1=.故选C.
4.[2018·
黄冈调研]设等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,则的值( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 根据等比数列的公式,得====.故选A.
5.[2015·
全国卷Ⅰ]在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
答案 6
解析 ∵a1=2,an+1=2an,
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.
6.[2018·
衡中检测]在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=________.
答案 4或-4
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则
两式相除,得=,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
所以或故a3=4或a3=-4.
板块二 典例探究·
考向突破
考向 等比数列的基本运算
例1
(1)[2017·
全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:
“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?
”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
答案 B
解析 设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7=381,q=2,∴S7===381,解得a1=3.故选B.
(2)[2017·
江苏高考]等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.
答案 32
解析 设{an}的首项为a1,公比为q,
则
两式相除得==,
解得所以a8=×
27=25=32.
触类旁通
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.
【变式训练1】
(1)[2018·
东北师大附中月考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=,且a2+a4=,则=( )
A.4n-1B.4n-1
C.2n-1D.2n-1
解析 设等比数列的公比为q,由题意,
得解得
则an=a1·
n-1=,Sn==,所以=2n-1.故选D.
(2)[2018·
安徽皖江名校联考]已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若a2·
a4=16,S3=7,则a8=________.
答案 128
解析 ∵a2·
a4=a=16,∴a3=4(负值舍去),
∵a3=a1q2=4,S3=7,∴q≠1,S2===3,
∴3q2-4q-4=0,解得q=-或q=2,∵an>
0,∴q=-舍去,∴q=2,∴a1=1,∴a8=27=128.
考向 等比数列的性质
命题角度1 等比数列性质的应用
例2
(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.5B.7C.6D.4
解析 (a1a2a3)×
(a7a8a9)=a=50,a4a5a6=a=5.选A.
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>
0,q>
1,a3+a5=20,a2a6=64,则S5=________.
答案 31
解析 a3a5=a2a6=64,因为a3+a5=20,所以a3和a5为方程x2-20x+64=0的两根,因为an>
1,所以a3<
a5,所以a5=16,a3=4,所以q===2,所以a1===1,所以S5==31.
命题角度2 等比数列前n项和性质的应用
例3
(1)设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于( )
A.B.-C.D.
解析 因为a7+a8+a9=S9-S6,且S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,所以8(S9-S6)=1,即S9-S6=.故选A.
(2)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( )
A.80B.30C.26D.16
解析 由题意知公比大于0,由等比数列性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…仍为等比数列.
设S2n=x,则2,x-2,14-x成等比数列.
由(x-2)2=2×
(14-x),
解得x=6或x=-4(舍去).
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…是首项为2,公比为2的等比数列.
又∵S3n=14,∴S4n=14+2×
23=30.故选B.
等比数列的性质应用问题
(1)等比数列的性质可以分为三类:
一是通项公式的变形,二是等比中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
(2)巧用性质,减少运算量,在解题中非常重要.
考向 等比数列的判定与证明
例4 [2018·
兰州模拟]已知数列{an}满足对任意的正整数n,均有an+1=5an-2·
3n,且a1=8.
(1)证明:
数列{an-3n}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解
(1)因为an+1=5an-2·
3n,
所以an+1-3n+1=5an-2·
3n-3n+1=5(an-3n),
又a1=8,所以a1-3=5≠0,
所以数列{an-3n}是首项为5、公比为5的等比数列.
所以an-3n=5n,所以an=3n+5n.
(2)由
(1)知,bn===1+n,
则数列{bn}的前n项和Tn=1+1+1+2+…+1+n=n+=+n-.
等比数列的判定方法
(1)定义法:
若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项公式法:
若数列{an}中,an≠0且a=an·
an+2(n∈
N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:
若数列通项公式可写成an=c·
qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:
若数列{an}的前n项和Sn=k·
qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.
提醒 前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中.
【变式训练2】 已知数列{an}满足2a1+4a2+…+2nan=.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Tn.
解
(1)证明:
当n=1时,由2a1=1,得a1=,
当n≥2时,由2a1+4a2+…+2nan=,得
2a1+4a2+…+2n-1an-1=,
于是2nan=-=n,
整理得=n,又a1=符合上式,
所以数列是等比数列.
(2)由
(1)得,an=n·
n,Tn=1×
1+2×
2+3×
3+…+n×
n,①
Tn=1×
2+2×
3+3×
4+…+n×
n+1,②
由①-②得Tn=1+2+3+4+…+n-n×
n+1,
即Tn=1+1+2+3+…+n-1-n×
n=-n×
n=2-2×
n-n×
n=2-.
核心规律
1.已知a1、q、n、an、Sn中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想.
2.证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,其他方法用于选择、填空题中的判定;
若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
满分策略
1.求解等比数列的问题,要注意等比数列性质的应用以减少运算量,而提高解题速度.
2.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
板块三 启智培优·
破译高考
易错警示系列8——数列中的思维定式致误
[2018·
武汉检测]已知等比数列{an}中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.(-∞,0)∪[1,+∞)
C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
错因分析 本题易错的原因是受q>
0的思维定式的影响,遗漏当q<
0时的情况,认为S3=+1+q≥3.
解析 因为等比数列{an}中a2=1,设其公比为q,所以S3=a1+a2+a3=a2=1+q+.
当公比q>
0时,S3=1+q+≥1+2=3,当且仅当q=1时,等号成立;
当公比q<
0时,S3=1-≤1-2=-1,当且仅当q=-1时,等号成立.
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