高中数学第一章坐标系24曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化25圆锥曲线统一的极坐标方程学案北师大版选Word格式文档下载.docx

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（2）x2＋y2＋2ax＝0（a≠0）；

（3）（x－5）2＋y2＝25.

[思路点拨]　本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想，解答此题，需要将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，及x2＋y2＝ρ2代入直角坐标方程，再化简即可．

[精解详析]　

（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x＋y＝0得ρcosθ＋ρsinθ＝0，

∴ρ（cosθ＋sinθ）＝0.

∴cosθ＋sinθ＝0.∴sinθ＝－cosθ.

∴tanθ＝－1.

∴θ＝（ρ≥0）和θ＝（ρ≥0）．

综上所述，直线x＋y＝0的极坐标方程为

θ＝（ρ≥0）和θ＝（ρ≥0）．

（2）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＋2ax＝0得

ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcosθ＝0，

即ρ（ρ＋2acosθ）＝0.

∴ρ＝－2acosθ.

∴圆x2＋y2＋2ax＝0（a≠0）的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.

（3）（x－5）2＋y2＝25，即：

x2＋y2－10x＝0.

把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入上式得：

ρ2－10ρcosθ＝0.

即ρ＝0或ρ＝10cosθ.

∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cosθ上，

∴所求圆的极坐标方程为ρ＝10cosθ.

将直角坐标方程化为极坐标方程，只需将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2代入化简即可，但化简时要注意变形的等价性．

1．把圆的直角坐标方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2化为极坐标方程．

解：

把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2，得（ρcosθ－a）2＋（ρsinθ－b）2＝r2.

如果设圆心（a，b）的极坐标为（ρ0，θ0），则

a＝ρ0cosθ0，b＝ρ0sinθ0，再代入上方程可得：

（ρcosθ－ρ0cosθ0）2＋（ρsinθ－ρ0sinθ0）2＝r2.

∴ρ2（cos2θ＋sin2θ）－2ρ0ρ（cosθcosθ0＋sinθsinθ0）＋ρ（cos2θ0＋sin2θ0）＝r2.

∴ρ2－2ρ0ρcos（θ－θ0）＋ρ－r2＝0.

这就是所求的圆的极坐标方程.

把极坐标方程化为直角坐标方程

[例2]　将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．

（1）ρsinθ＝1；

（2）ρ（cosθ＋sinθ）－4＝0；

（3）ρ＝－2cosθ；

（4）ρ＝cosθ－2sinθ.

[思路点拨]　本题考查极坐标与直角坐标互化公式的应用及转化与化归思想的应用，解答此题需要利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y求解．有时需要在等式两边同乘ρ，构造出ρcosθ和

ρsinθ.

[精解详析]　

（1）ρsinθ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．

（2）ρ（cosθ＋sinθ）－4＝0⇒ρcosθ＋ρsinθ－4＝0，

∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．

（3）ρ＝－2cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝－2ρcosθ，

∴x2＋y2＋2x＝0，即（x＋1）2＋y2＝1.

表示的是以（－1,0）为圆心，以1为半径的圆．

（4）ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得

ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ，

∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0，

即2＋（y＋1）2＝2.

表示的是以为圆心，半径为的圆．

极坐标方程化为直角坐标方程时，往往需要将原极坐标方程两边同乘以ρ，尽可能使得ρcosθ换成x，ρsinθ换成y，ρ2换成x2＋y2.但注意ρ＝0是原方程的解时，所得到的直角坐标方程与原极坐标方程等价．若ρ＝0不是原方程的解时，求得的直角坐标方程，还需加x，y不同时为0的限制．

2．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．

（1）ρ2cos2θ＝8；

（2）ρ＝2cos.

（1）因为ρ2cos2θ＝8，

所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝8.

所以化为直角坐标方程为x2－y2＝8.

（2）因为ρ＝2cosθcos＋2sinθsin

＝cosθ＋sinθ，

所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.

所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.

极坐标方程与直角坐标方程互化的应用

[例3]　求两个圆ρ＝4cosθ，ρ＝4sinθ的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系．

[思路点拨]　本题考查在极坐标系下的距离及位置关系的确定问题，解答此题可以在极坐标系下求解，也可以转化为直角坐标系下的距离及位置关系问题求解．

[精解详析]　法一：

ρ＝4cosθ的圆心为（2,0），半径为2，ρ＝4sinθ的圆心为（2，），半径为2.

两圆圆心的距离为

d＝＝2.

而两圆半径之和为4，两圆半径之差为0.

∴两圆相交．

法二：

ρ＝4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρcosθ，

∴ρ＝4cosθ可化为x2＋y2－4x＝0，

即（x－2）2＋y2＝4，

∴表示的是以（2,0）为圆心，半径为2的圆．

ρ＝4sinθ两边同乘以ρ得ρ2＝4ρsinθ，

∴ρ＝4sinθ可化为x2＋y2－4y＝0，

即x2＋（y－2）2＝4，

∴表示的是以（0,2）为圆心，半径为2的圆．

两圆的圆心距为d＝＝2，

两圆半径之和为4，之差为0，

对于研究与极坐标方程相关的距离及位置关系等问题，可在极坐标系下研究，也可将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．

3．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，求点A到这条直线的距离．

把点A化为直角坐标为（，－）．

把直线ρsin＝化为直角坐标方程为

ρsinθ·

cos＋ρcosθ·

sin＝，

即x＋y＝，∴x＋y＝1.

∴点A（，－）到直线x＋y－1＝0的距离为

d＝＝，

故点A到直线ρsin＝的距离为.

本课时经常考查直线和圆的极坐标方程的应用以及极坐标方程与直角坐标方程的互化．

[考题印证]

（辽宁高考改编）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos（θ－）＝2.

求C1与C2的交点的极坐标．

[命题立意]　本题主要考查极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化．

[自主尝试]　由ρ＝，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y得，

圆C1的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝4，

直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0，

由　解得　

所以圆C1，直线C2的交点直角坐标为（0,4），（2,2），

再由ρ＝，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，将交点的直角坐标化为极坐标，.

所以C1与C2的交点的极坐标，.

[对应学生用书P14]

一、选择题

1．将方程θ＝（ρ≥0）化为直角坐标方程为（　　）

A．y＝x　　　　　　　　　B．y＝x（x≥0）

C．y＝x（x≤0）D．y＝x（x≥0）

解析：

选B　`∵tan＝（x≠0），∴＝1（x≠0）．

∴y＝x.而θ＝（ρ≥0）表示射线，

∴所求的直角坐标方程为y＝x（x≥0）．

2．圆心在点（－1,1）处，且过原点的圆的极坐标方程是（　　）

A．ρ＝2（sinθ－cosθ）B．ρ＝2（cosθ－sinθ）

C．ρ＝2sinθD．ρ＝2cosθ

选A　如图所示，圆的半径为＝，

∴圆的直角坐标方程为

（x＋1）2＋（y－1）2＝2，

即x2＋y2＝－2（x－y），化为极坐标方程，

得ρ2＝－2（ρcosθ－ρsinθ），即ρ＝2（sinθ－cosθ）．

3．直线l1：

ρsin（θ＋α）＝a和l2：

θ＝－α的位置关系是（　　）

A．l1∥l2B．l1⊥l2

C．l1和l2重合D．l1和l2斜交

选B　对于l1可化为xsinα＋ycosα＝a，k1＝－，

对于l2可化为xcosα－ysinα＝0，k2＝，

∴k1·

k2＝－1.∴l1⊥l2，故选B.

4．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ表示的曲线为（　　）

A．直线B．圆

C．椭圆D．双曲线

选B　由ρ＝sinθ＋2cosθ，得ρ2＝ρsinθ＋2ρcosθ.

∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．

二、填空题

5．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．

直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为（1,0），半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝，设所求的弦长为l，则12＝2＋2，解得l＝.

答案：

6．在极坐标系中，定点A（1，），点B在直线l：

ρcosθ＋ρsinθ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．

将ρcosθ＋ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A（0,1），如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.

7．过极点O作圆C：

ρ＝8cosθ的弦ON，则ON的中点M的轨迹方程是________．

法一：

如图，圆C的圆心为C（4,0），半径为|OC|＝4，连接CM.

∵M为弦ON的中点，

∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上．

∴点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ.

设M点的坐标是（ρ，θ），N（ρ1，θ1）．

∵N点在圆ρ＝8cosθ上，∴ρ1＝8cosθ1，①

∵M是ON的中点，∴

将它代入①式得2ρ＝8cosθ，故点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ.

ρ＝4cosθ

8．（天津高考）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C,点P的极坐标为，则CP＝________.

如图，

由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ知OC＝2，又因为点P的极坐标为，所以OP＝4，∠POC＝，在△POC中，由余弦定理得CP2＝OP2＋OC2－2OP·

OC·

cos＝16＋4－2×

4×

2×

＝12，所以CP＝2.

2

三、解答题

9．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ2－2ρ（cosθ＋sinθ）＝0.

（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

（1）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，

所以x2＋y2＝2x.

即x2＋y2－2x＝0为⊙O1的直角坐标方程．

同理x2＋y2－2x－2y＝0为⊙O2的直角坐标方程．

（2）法一：

由

解得

即⊙O1，⊙O2交于点（0,0）和（2,0）．过交点的直线的直角坐标方程为y＝0.

①－②得y＝0，

即y＝0为过⊙O1，⊙