届高考数学理新课标专题复习作业不等式向量解三角形.docx
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届高考数学理新课标专题复习作业不等式向量解三角形
高考数学专题训练:
不等式向量解三角形
一、选择题
1.(2016·安徽五校)设全集U=R,集合A={x|x2-2x≥0},B={x|y=log2(x2-1)},则(∁UA)∩B=( )
A.[1,2) B.(1,2)
C.(1,2]D.(-∞,-1)∪[0,2]
答案 B
解析 由已知得A=(-∞,0]∪[2,+∞),∴∁UA=(0,2),又B=(-∞,-1)∪(1,+∞),∴(∁UA)∩B=(1,2),故选B.
2.(2016·四川)设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足则p是q的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 取x=y=0满足条件p,但不满足条件q,反之,对于任意的x,y满足条件q,显然必满足条件p,所以p是q的必要不充分条件,选A.
3.(2016·湖南四校)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则=( )
A.a+bB.a+b
C.a+bD.a+b
答案 C
解析 ∵=a,=b,∴=+=+=a+b,∵E是OD的中点,∴=,∴|DF|=|AB|,∴==(-)=×[--
(-)]=-=a-b,∴=+=a+b+a-b=a+b.
4.(2016·衡中一调)在△ABC中,三边之比a∶b∶c=2∶3∶4,则=( )
A.1B.2
C.-2D.
答案 B
解析 设a=2x,b=3x,c=4x(x>0),△ABC外接圆的半径为R,则====-=-=2.
5.(2016·江西调研)已知向量m,n的模分别为,2,且m,n的夹角为45°.在△ABC中,=2m+2n,=2m-6n,=2,则||=( )
A.2B.2
C.4D.8
答案 B
解析 因为=2,所以点D为边BC的中点,所以=(+)=2m-2n,所以||=2|m-n|=2=2=2.
6.(2016·宜春模拟)已知x,y∈R+,且x+y++=5,则x+y的最大值是( )
A.3B.
C.4D.
答案 C
解析 由x+y++=5,得5=x+y+,∵x>0,y>0,∴5≥x+y+=x+y+,∴(x+y)2-5(x+y)+4≤0,解得1≤x+y≤4,∴x+y的最大值是4.
7.(2016·福建模拟)在△ABC中,A=,AB=2,AC=3,=2,则·=( )
A.-B.-
C.D.
答案 C
解析 因为=+=+=+(-)=+,所以·=(+)·(-)=×32-×22+·=+×3×2cos=,选C.
8.(2016·河北五一联盟)向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|2a+b|=,则a与b的夹角为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
答案 C
解析 因为(2a+b)2=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos〈a,b〉=16+9+24cos〈a,b〉=37,即cos〈a,b〉=,所以〈a,b〉=60°,故选C.
9.(2016·山东潍坊模拟)如图,某观测站C在目标A的南偏西
25°方向上,从A出发有一条南偏东35°走向的公路,在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿公路向A走去,走20千米到达D,此时测得C、D间的距离为21千米,则此人在D处距A还有( )
A.5千米B.10千米
C.15千米D.20千米
答案 C
解析 由题知∠CAD=60°,cosB===,sinB=.
在△ABC中,AC==24,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即312=AB2+242-2AB×24cos60°,解得AB=35或AB=-11(舍去),
∴AD=AB-BD=15(千米).
10.(2016·长沙调研)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则x+2y的最小值为( )
A.2B.
C.D.
答案 C
解析 由已知可得=×(+)=+=+,又M,G,N三点共线,故+=1,∴+=3,则x+2y=(x+2y)·(+)·=(3++)≥(当且仅当x=y时取等号),故选C.
11.(2016·广州五校)已知Rt△AOB的面积为1,O为直角顶点,设向量a=,b=,=a+2b,则·的最大值为( )
A.1B.2
C.3D.4
答案 A
解析 依题意,OA⊥OB,∴·=0,又||·||=1,∴||||=2.∵·=(+)·=2||,·=(+)·=||,
2=(+)2=+·+=5,∴·=(-)·
(-)=·-(·+·)+2=5-(2||+||)≤5-2=5-4=1.
12.(2016·四川)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A.B.
C.D.1
答案 C
解析 设P(,t),易知F(,0),则由|PM|=2|MF|,得M(,),当t=0时,直线OM的斜率k=0,当t≠0时,直线OM的斜率k==,所以|k|=≤=,当且仅当=时取等号,于是直线OM斜率最大值为,选C.
13.(2016·洛阳调研)已知实数x,y满足约束条件向量a=(x,y),b=(3,-1),设z表示向量a在向量b方向上的投影,则z的取值范围是( )
A.[-,6]B.[-1,6]
C.[-,]D.[-,]
答案 C
解析 画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,向量a在向量b方向上的投影
z==(3x-y),
由可行域知,a=(x,y)=(2,0)时,向量a在b方向上的投影最大,且最大值为=;当a=(,3)时,向量a在b方向上的投影最小,且最小值为-=-,所以z的取值范围是[-,].
14.(2016·安徽六校)如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上且与A,B不重合的一个动点,且=x+y,若u=x+λy(λ>0)存在最大值,则λ的取值范围为( )
A.(1,3)B.(,3)
C.(,1)D.(,2)
答案 D
解析 设扇形所在圆的半径为1,以O为原点,OB为x轴,建立平面直角坐标系,∠COB=θ(θ∈(0,)).故B(1,0),A(,),C(cosθ,sinθ),故∴
令f(θ)=u=x+λy=sinθ+λcosθ,θ∈(0,),
则f(θ)在(0,)上不是单调函数,从而f′(θ)=cosθ-πsinθ=0在(0,)上一定有解,即tanθ=在(0,)上有解.∴∈(0,),即λ∈(,2),经检验此时f(θ)正好有极大值点.
15.(2015·湖北八校)若关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a,b)和(,),则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式x2-4cos2θ·x+2<0和不等式2x2+4sin2θ·x+1<0为“对偶不等式”,且θ∈(,π),则θ=( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 设方程x2-4cos2θ·x+2=0的两根分别为x1,x2,则有设方程2x2+4sin2θ·x+1=0的两根分别为x3,x4,则有由对偶不等式的定义可得x3+x4=⇒-2sin2θ=2cos2θ⇒tan2θ=-,又θ∈(,π),所以θ=.
二、填空题
16.(2016·济南一模)设向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈R)的最小值为________.
答案
解析 设向量a,b的夹角为θ,因为|a|=|b|=|a+b|=1,所以a2+b2+2a·b=1+1+2×1×1×cosθ=1,解得cosθ=-,即θ=,所以a·b=-,|a-tb|2=a2+t2b2-2ta·b=t2+t+1=(t+)2+,故当t=-时,|a-tb|取到最小值,且最小值为.
17.(2016·太原模拟)在锐角△ABC中,已知B=,|-|=2,则·的取值范围是________.
答案 (0,12)
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- 高考 学理 新课 专题 复习 作业 不等式 向量 三角形