全国高考新课标1卷理科数学试题word文档完整版小题也有详解.docx
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全国高考新课标1卷理科数学试题word文档完整版小题也有详解
2018年全国高考新课标1卷理科数学试题
一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设,则|z|=()
A.0B.C.1D.
解:
,|z|=1,故选C.
2.已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=()
A.{x|-1 C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解: A={x|x<-1或x>2},∴∁RA={x|-1≤x≤2},故选B. 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解: 设建设前总经济收入为100,则建设后总经济收入为200,种植收入为74,多于建设前种植收入60,所以A错误,故选A. 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.-12B.-10C.10D.12 解: 依题3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0,又a1=2,∴d=-3, a5=a1+4d=-10,故选B. 5.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x 解: 依题f(x)为奇函数,可得a=1,∴f(x)=x3+x.∴f'(x)=3x2+1.∴k=f'(0)=1. 切线方程为y=x,故选D. 6.在ΔABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=() A.B.C.D. 解: ,故选A. 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为() A.B.C.3D.2 解: 依图,MN=,故选B. 8.设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则() A.5B.6C.7D.8 解: 依题,F(1,0),直线MN: ,联立y2=4x,解得M(1,2),N(4,4), ∴=(0,2)∙(3,4)=0+8=8,故选D. 9.已知函数,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是() A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞) 解: 依题,方程f(x)=-x-a有两个解.在同一坐标系中, 作出y=f(x),y=-x-a的图象应有两个交点. 在直线中令x=0,y=-a,依图,-a∈(-∞,1], ∴a∈[-1,+∞),故选C. 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,ΔABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则() A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3, 解: 设AB=2a,AC=2b,则AC=,∴SⅠ=2ab,SⅢ=π(a2+b2)-2ab, SⅡ=πa2+πb2+2ab-π(a2+b2)=2ab,∴SⅠ=SⅡ,∴p1=p2,故选A. 11.已知双曲线C: ,O为坐标原点,F为的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若ΔOMN为直角三角形,则|MN|=() A.B.3C.D.4 解: 依题a=,b=1,c=2,两条渐近线为, ∴F(2,0),又ΔOMN为直角三角形,易知直线l与一条渐近线垂直,不妨设与OM垂直,易知|OM|=a=,∠MON=60°,∴|MN|=atan60°=3,故选B. 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为() A.B.C.D. 解: 依题与一条体对角线垂直的平面α符合条件, 根据截面面积的对称性知中间截面面积的最大, 易知中间截面是边长是正六边形, 所以S=6×,故选A. 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上. 13.若x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为______. 解: 作出可行域,如图. 画出直线l0: 3x+2y=0,平移l0到l, 当l经过点M(2,0)时z最大 所以,zmax=6. 14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________. 解: ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,相减得an+1=2an+1-2an,∴an+1=2an, ∴{an}是公比为2的等比数列,由S1=2a1+1解得a1=-1,∴S6=1-26=-63. 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选, 则不同的选法共有________种.(用数字填写答案) 解: 从2位女生,4位男生中选3人有C63=20种, 至少有1位女生入选有20-C43=16种. 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是________. 解: f(x)=2sinx+sin2x的周期是2π,所以在[0,2π]上计算f(x)的最小值即可。 ∵f(x)=2sinx(1+cosx),∴f'(x)=2[cosx(1+cosx)-sin2x]=2[2cos2x+cosx-1] =2(cosx+1)(2cosx-1),令f'(x)=0,解得cosx=-1或cosx=.∴x=, 在上,f'(x)>0,f(x)是增函数;在上,f'(x)≤0,f(x)是减函数. 时f(x)取极小值,又f(0)=0,∴f(x)的最小值是. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 只做6题,共70分。 17.(本小题满分12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 解: (1)在ΔABD中,由正弦定理得,所以. 依题∠ADB<90°,,所以. (2)由题设及 (1)知,.在ΔBCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BD∙DC∙cos∠BDC=25.所以BC=5. 18.(本小题满分12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别 为AD,BC的中点,以DF为折痕把ΔDFC折起, 使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明: 平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 解: (1)依题BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF. 又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)因为平面PEF⊥平面ABFD,交线为EF. 作PH⊥EF垂足为H,则PH⊥平面ABFD. 所以DP与平面ABFD所成角是∠PDF, 设正方形ABCD的边长为2,可得DP=2,DE=1, 所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 在RtΔPEF中由面积关系可得EF∙PH=PE∙PF, 所以.所以sin∠PDF=,为所求的正弦值。 (2)另解: 因为平面PEF⊥平面ABFD,交线为EF. 作PH⊥EF垂足为H,则PH⊥平面ABFD. 如图建立空间直角坐标系H−xyz. 设正方形ABCD的边长为2, 可设D(a,1,0),F(a+2,0,0),P(0,0,c) 因为DP=2,PF=1, 所以a2+1+c2=4,(a+2)2+0+c2=1, 联立解得所以 易知平面ABFD法向量 所以sinθ=.为所求的正弦值。 19.(本小题满分12分) 设椭圆C: 的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点, 点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: ∠OMA=∠OMB. 解: (1)依题F(1,0),l的方程为x=1.联立椭圆方程x2+2y2=2解得 点A的坐标为或. 所以AM的方程为或. (2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°. 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,可设l的方程为y=k(x-1)(k≠0), 联立椭圆方程x2+2y2=2,消去y整理得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,且 直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMA=. 所以kMA+kMA=. 又. 从而kMA+kMA=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 20.(本小题满分12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解: (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.因此 f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p). 令f'(p)=0,解得p=0.1.在(0,0.1)上,f'(p)>0,f(p)是增函数; 在(0.1,1)上,f'(p)<0,f(p)是减函数.所以f(p)的最大值点为p0=0.1. (2)由 (1)知,p=0.1. (i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题Y~B(180,0.1), 则X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×18=490. (ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=-x+alnx. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: . 解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=. (i)若a≤2,则f'(x)≤0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ii)若a>2,令f'(x)=0解得,或. 在上,f'(x)<0,f(x)单调递减; 在上,f'(x)>0,f(x)单调递增. (2)由 (1)知,f(x)存
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